Материал: Боженко Основы квантовой химии

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

С учетом спина полный угловой момент J системы электронов определяется соотношением

J = L + S = ∑li + ∑si .		(II.46)
i	i

Эта схема Рассел-Саундерс, предложенная в 1925 г., часто называемая схемой L–S связи. Она применима к легким элементам, где малы релятивистские эффекты. Ей удобнее пользоваться, но она не учитывает взаимодействие между спиновым и орбитальным движением, иначе называемым спин – орбитальным взаимодействием.

Следует отметить, что квадрат полного углового момента J 2 и его проекция на любое направление Jz кванту-

ются аналогично орбитальному моменту, но полуцелыми числами.

Квантовое число j выражается через l и ls по формуле j=l+ls или j=l-ls. В случае атомов тяжелых элементов, где релятивистскими эффектами пренебречь нельзя, следует применять схему j-j связи.

ˆ2				2		j( j +1)ψ
J ψ =						j( j +1)ψ
J 2	=		2 j( j +1)
j = 1		,		3	,	5	,............	(II.47)
	2			2		2
Jz	=		mj
mj	= ±			1	, ±		3 ,......, ± j
				2			2

По этой схеме вычисляется полный механический момент j для каждого электрона в отдельности по формуле ji = li + si и затем суммируют все ji , находя полный механи-

ческий момент J всей системы электронов.

На самом деле L − S и j-j связи реализуются очень редко и если есть атом тяжелого элемента, то для внутренних электронов пользуются схемой j-j связи, а для валентных электронов – схемой Рассел-Саундерса.

Квантовый осциллятор

В классической механике:

• 2

= m x

+ k x2

, где k = m ω 2 0

т.к. ω 2 0 =

• 2

mω 2

E =

m x

Перейдем теперь к квантовой механике:

px → pˆx

x2 → xˆ2

Ψ = E Ψ

(II.48)

pˆ 2x

mω 20

xˆ

∂2

mω 20

= −

∂x2

(II.49)

Подставляя гамильтониан в стационарное уравнение

Шрёдингера, получаем:

−

∂ 2 Ψ

mω 2 0

x2 Ψ = E Ψ

(II.50)

2m ∂x2

Разделим уравнение (II.50) на

ω0

и умножим полу-

ченный результат на два:

−

∂ 2 Ψ

mω

x2 Ψ =

mω0 ∂x2

ω0

Введем безразмерные величины:

, x0

, λ =

(II.51)

ω0

mω0

− x2 ∂2Ψ +

Ψ = λΨ

∂x2

−

∂ 2 Ψ + ξ 2

Ψ − λΨ = 0

∂ξ 2

∂ 2 Ψ

+ (λ − ξ 2 )Ψ = 0

∂ξ 2

Ψ " + (λ − ξ 2 )Ψ = 0

(II.52)

Найдем конечные, непрерывные и однозначные волновые функции Ψ в интервале − ∞ < ξ < +∞ , удовлетво-

ряющие уравнению (II.52). Оно имеет решение при

λ = 2n + 1, где n = 0,1,2,3,…,			(II.53)
Это функции вида:
ξ 2
Ψ (ξ ) = e− 2 H	n	(ξ )	(II.54)
n	n

здесь H n (ξ ) - полиномы Эрмита-Чебышева n-го порядка:

	(−1)n		ξ 2 d ne−ξ 2
Hn (ξ ) =		e	dξ n	(II.55)
	2n n! π
				53

−∞	−∞
∫\| Ψn (ξ ) \|2 dξ =	∫e−ξ 2 H n (ξ )dξ = 1, то есть эти волно-
+∞	+∞

вые функции подчиняются условию нормировки. Сравнивая

(II.51) и (II.53), получаем:

2n + 1 =	2E	E =	ω0	(2n + 1) =	ω0 (n +	1	) (II.56)
			2			2
	ω0

n – номер энергетического уровня Е, то есть главное квантовое число. Из (II.54) и (II.55) видно, что четность состояний определяется четностью главного квантового числа “n”.

Точка, в которой волновая функция равна нулю, называется узлом. То есть в такой точке вероятность обнаружить микрочастицу равна нулю. В случае квантового гармонического осциллятора число узлов равно главному квантовому числу n.

Необходимо отметить принципиальную разницу между классическим и квантовым гармоническим осциллятором.

По классической теории наименьшая энергия Еmin = 0 и соответствует покоящейся в положении равновесия частице. По квантовой теории наименьшее значение энергии осциллятора есть:

Emin =	ω0	(II.57)
	2

Она называется нулевой энергией. Выясним ее физический смысл. Среднее значение энергии осциллятора равно:

		p2		mω 2
					x2
E =			+			(II.58)
		x		0
	2m			2
	2m			2

Соотношение неопределенностей:

		≥	2
px2	x2			(II.59)
			4

Поскольку для осциллятора средние значения импульса и координаты равны нулю ( x =0 и px =0) то:

x2 = x2 − (x)2 = x2 и

px2 = px2 − ( px )2 = px2

Отсюда можно написать в соответствии с (II.59):

≥

px2

(II.60)

4 px2

Объединив (II.58) и (II.60), получаем следующее не-

равенство:

mω 2 2

E ≥

(II.61)

8 px2

Отсюда можно найти Emin:

∂

= 0

∂ (

)

px2

∂

mω 2

0 2

−

= 0

∂ (

)

px2

Отсюда:

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных