Материал: Боженко Основы квантовой химии

H = T + U

Переход к оператору T должен быть, например, для квадрата компоненты импульса px , выполнен так:

Поэтому оператор кинетической энергии будет равен

Сумма вторых частных производных называется оператором Лапласа, то есть

ˆ

времени, то действие оператора U этого потенциала является простым умножением соответствующей функции ψ на

функцию U (r,t) . Следовательно, гамильтониан будет в этом случае иметь вид:

Уравнение Шредингера:

Для системы частиц оператор Гамильтона, очевидно, может быть записан так:

И уравнение Шредингера будет иметь следующий вид:

Стационарные состояния

В квантовой механике состояния, в которых энергия имеет определенное значение, называются стацио-

нарными состояниями. Они описываются волновыми функциями ψ n , являющимися собственными функциями

оператора Гамильтона, то есть

где En – собственное значение энергии. Это уравнение на-

зывается стационарным уравнением Шредингера. Его решению для различных задач посвящена оставшаяся часть разделов квантовой механики и квантовой химии нашего курса. Смысл закона сохранения энергии в квантовой механике заключается в том, что если в данном состоянии энер-

42

гия имеет определенное значение, то это значение остается постоянным во времени.

Это справедливо для замкнутых систем и систем не находящихся в переменном внешнем поле. В самом деле, поскольку все моменты времени эквивалентны, гамильтониан такой системы не зависит от времени явно.

Физические величины, операторы которых не зависят от времени явно и коммутируют с гамильтонианом, называются сохраняющимися.

Поскольку каждый оператор коммутативен сам с собой, в данном случае функция Гамильтона сохраняется. Как известно сохраняющаяся функция Гамильтона называется энергией. То есть энергия сохраняется. Особое значение задачи о нахождении значений E заключается в том, что в противоположность классической механике, квантовая механика приводит к квантованию энергии, то есть к дискретному спектру ее значений E1, E2 ,...En . Эти значения часто назы-

вают квантовыми уровнями или уровнями энергии.

Момент импульса микрочастицы

В классической механике, как мы видели, момент импульса тела выражается формулой:

Его значение определяется тем, что эта величина является интегралом движения в поле центральных сил.

В квантовой механике векторы в формуле (II.25) заменяются соответствующими операторами. И оператор момента импульса записывается так:

ˆ является также интегралом движения в поле цен-

M

тральных сил и обладает свойствами аналогичными свойствам момента импульса в классической механике. Он зависит от операторов координат и импульсов следующим образом:

Раскрывая определитель (II.27), получим следующее выражение для оператора момента импульса:

(II.28)

В более подробной форме компоненты проекций оператора момента импульса выражаются через компоненты проекций оператора импульса микрочастицы по формулам:

Из формул (II.28) и (II.29) вытекает известное соотношение для квадрата оператора момента импульса, связывающее его с компонентами проекций оператора момента импульса на координатные оси:

44

Найдем правила перестановки для компонент момента импульса. Для этого вычислим, например, такой коммутатор:

Аналогично получаются коммутационные соотношения для остальных компонент оператора момента импульса: