Материал: Боженко Основы квантовой химии

Подставим (II.62) в (II.61), получим следующее неравенство:

То есть нулевая энергия есть наименьшая энергия, совместимая с соотношением неопределенностей.

Туннельный эффект

Если есть две области пространства, в которых потенциальная энергия частицы меньше, чем на поверхности, разделяющей эти области, то говорят, что эти области разделены потенциальным барьером. В классиче-

ской механике потенциальный барьер непроницаем для частиц, энергия которых меньше величины барьера. В квантовой механике это не так.

Явление прохождения частицы с отличной от нуля вероятностью сквозь потенциальный барьер называется туннельным эффектом. На Рис. 2 изображен потен-

циальный барьер в одном измерении, соответствующем движению частицы вдоль оси х.

Здесь U(x) – потенциальная энергия, которая максимальна в точке х0. Все пространство в этой точке делится на две области − ∞ < x < x0 и x0 < x < +∞ , в которых U < U m .

56

Um

E<Um

0

Рис. 2. Схематическое изображение потенциального барьера при движении частицы вдоль оси Х

Значение термина потенциальный барьер (ПБ) прояснится, если мы рассмотрим движение частицы в поле U (x)

на основе классической механики. Полная энергия частицы равна:

E = p2 + U (x) 2m

Отсюда импульс частицы равен:

p = ± 2m(E − U (x)) .

Если Е больше высоты потенциального барьера Um, то выражение под корнем положительно и частица свободно

57

пройдет барьер слева направо, если р > 0 и справа налево, если р < 0.

Пусть, например, частица движется слева, имея полную энергию Е, меньшую, чем Um. Тогда в некоторой точке x1 E = U(x) и p(x1) = 0 частица остановится. Вся её энергия превратится в потенциальную энергию, и она будет двигаться в обратном направлении. Поэтому, если E < Um , то частица не пройдет сквозь барьер.

Таким образом, в классической механике потенциальный барьер полностью непрозрачен для частиц с E < Um и полностью прозрачен для частиц с E > Um. Этим и объясняется название ПБ.

Совсем иначе обстоит дело вблизи барьеров, если речь идет о движении микроскопических частиц, то есть о движении, при рассмотрении которого нельзя пренебрегать квантовыми эффектами. В этом случае, как мы сейчас увидим, частицы с энергией E > Um частично отражаются от барьера, а частицы с E < Um частично проникают через барьер. Для того, чтобы убедиться в этом, рассмотрим совсем простой барьер, изображенный на Рис.3. Его можно рассматривать, как идеализацию ПБ, изображенного на Рис.2. Значение потенциальной энергии U(x) здесь всюду равно нулю, кроме области: 0 ≤ x ≤ a . В областях I и III U(x) = 0, а в об-

ласти II U(x) = Um.

Можно представить себе, что такой барьер возникает в результате плавной деформации ПБ на Рис.2. Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся в поле этого барьера. Обозначая потенциальную энергию через U(x), получаем стационарное уравнение Шредингера:

58

Тогда получаем для каждой из трех областей стационарное уравнение Шредингера:

∂ 2 ΨII + k1ΨII = 0 ∂x2

Процесс взаимодействия частиц с барьером будет выглядеть следующим образом. Некоторые частицы будут отражаться от барьера в точке х = 0, и некоторые в точке х = а. В то же время какая-то часть частиц пройдет в этих точках сквозь барьер. Этот процесс схематически показан на Рис.4.

U(x)

Рис. 4. Прохождение частицы через идеализированный потенциальный барьер

Решение в этих трех областях может быть найдено в следующем виде. Для первой области:

60