Материал: Бодунов Физика учебник

1.4. Дифракция света

Принцип Гюйгенса–Френеля. Дифракцией света называется совокуп-

ность явлений, обусловленных волновой природой света и наблюдаемых при прохождении его через оптические среды с четко выраженными неоднородностями, – отверстиями, препятствиями, размеры которых соизмеримы с длиной световой волны. К явлению дифракции относится огибание препятствий световыми волнами.

Для объяснения дифракции иопределения интенсивности световой волны, распространяющейся в среде с препятствиями, применяются методы, основанные на принципе Гюйгенса–Френеля, в соответствии с которым:

а) каждая точка фронта световой волны является источником вторичных сферических волн, новый фронт волны представляет собой поверхность, огибающую эти фронты;

б) источники вторичных волн, которые расположены на поверхности фронта волны, являются когерентными, и указанные волны интерферируют между собой.

С помощью этого принципа можно объяснить закон прямолинейности распространения света и равенство углов падения и отражения при его отражении.

Пусть S – поверхность волнового фронта (рис. 1.19). Каждый элемент такой поверхности служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади dS элемента.

Для сферической волны амплитуда убывает с увеличением расстояния r от источника как 1/r.

n

dS

r

P

S

Рис. 1.19

Таким образом, от каждого элемента dS волновой поверхности в точку Р приходят колебания

26

dE K ( ) Ar cos( t kr)dS,

где AdS – пропорциональная площади dS амплитуда колебаний вектора напряженности электрического поля (светового вектора) в точке волновой поверхности, в которой расположен элемент dS; K( ) – коэффициент, который

уменьшается с увеличением угла φ между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке наблюдения Р. Результирующее колебание в точке Р можно найти, вычислив интеграл (интеграл Френеля) по всей волновойповерхности S:

E K( ) A cos( t kr)dS.

S r

Это соотношение – аналитическое выражение принципа Гюйгенса– Френеля.

Расчет интерференции вторичных волн в общем случае довольно сложен. Однако для ряда задач нахождение амплитуды результирующего колебания оказывается возможным с помощью алгебраического или геометрического суммирования.

Метод зон Френеля. Для определения результирующей амплитуды всех волн в точке наблюдения Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля.

Рассмотрим применение этого метода в случае плоской волны. Пусть плоский фронт волны F в некоторый момент времени находится на расстоянии |OP| = b от точки наблюдения Р (рис. 1.20). Все точки фронта волны согласно принципу Гюйгенса–Френеля испускают вторичные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям и через некоторое время достигают точки наблюдения Р. Результирующая амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн.

Поскольку волновой фронт F плоский, колебания всех его точек имеют одинаковое направление и происходят в одной фазе. Вместе с тем все точки фронта F находятся на разном расстоянии от точки Р. Выбирая точку Р в качестве центра, строим ряд концентрических сфер, радиусы которых начинаются с b и увеличиваются последовательно на половину длины волны λ/2. При пересечении с фронтом волны F эти сферы образуют на нем концентрические окружности, и на данном фронте появляются кольцевые зоны (зоны Френеля) с радиусами ρ1, ρ2, ρ3, … На рис. 1.20 изображение зон Френеля развернуто на 90° так, как они выглядят из точки Р.

Так как |OA| = ρ1, |OA|2 = |AP|2 – |OP|2, b , радиусы зон Френеля равны

27

…………………………….

Таким образом, радиус k-й зоны Френеля

F

Рис. 1.20

Амплитуды колебаний от зон Френеля пропорциональны их площадям. Площадь первой зоны (круг)

S1 12 b ,

площадь второй зоны (кольцо)

S2 22 12 b ,

площадь третьей зоны (кольцо)

S3 32 22 b ,

……………………..

28

Следовательно, площади зон Френеля примерно одинаковы и равны

Sk b .

Согласно принципу Гюйгенса–Френеля каждая зона Френеля служит источником вторичных волн. Их амплитуды примерно одинаковы, так как площади зон равны. При этом колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, противоположны по фазе, поскольку разность хода соответствующих волн от этих зон до точки наблюдения Р равна λ/2. Поэтому при сложении в точке Р колебания от соседних зон должны ослаблять друг друга. В связи с этим амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть записана в виде знакопеременного ряда

A A1 A2 A3 A4 ,

где Аk – амплитуда колебания в точке P, возбуждаемого действием k-й зоны Френеля. В этом выражении все амплитуды от нечетных зон входят со знаком «плюс», а от четных – со знаком «минус».

Расстояние от k-й зоны до точки P медленно возрастает с увеличением номера зоны k. Следовательно, амплитуды Аk монотонно убывают с увеличением k и образуют монотонно убывающую последовательность

A1 A2 A3 Ak 1 Ak Ak 1

Вследствие монотонного и медленного убывания Ak можно с высокой степенью точности положить, что амплитуда колебаний от зоны с номером k равна среднему арифметическому амплитуд колебаний от двух соседних зон Френеля:

Представляя нечетные амплитуды в виде полусуммы: Аk = Аk/2 + Аk/2, записываем выражение амплитуды результирующего колебания в виде

Согласно предыдущей формуле все выражения в круглых скобках равны нулю, так что

A A21 ,

т. е. результирующая амплитуда, создаваемая в точке наблюдения Р всей поверхностью волнового фронта F, равна половине амплитуды, создаваемой

29