Материал: Белозеров В.И., Яркин А.Н., Кузина Ю.А. Сборник задач по курсу Техническая термодинамика

6. Второй закон термодинамики. Работоспособность газов

Энтропия

Аналогично внутренней энергии и энтальпии энтропия S является функцией состояния термодинамической системы; это экстенсивная (аддитивная) величина. Понятие энтропии и второй закон термодинамики, аналитическое выражение которого

dSdQ/T (Дж/К),

неразрывно связаны.

Для обратимых процессов (и только)

dS=dQ/T,

для любого обратимого цикла

(интеграл Клаузиуса),

т.е. dS является полным дифференциалом в отличие от dQ. Подставляя в (4.1) и (4.2) dq=Tds (Дж/кг) в удельных (массовых) величинах, получаем (s – удельная энтропия, Дж/(кг/К))

dh=Tds+vdP, du=Tds–Pdv (Дж/кг). (6.1)

Каждое из этих уравнений является аналитическим выражением объединенных первого и второго законов термодинамики для обратимых процессов.

Идеальный газ (Pv=RT, du=c_vdT, dh=c_pdT, c_p–c_v=R). В этом случае из уравнений (6.1) следует (s =s₂ – s₁)

ds=c_vdT/T+Rdv/v,  s=c_vln(T₂/T₁)+Rln (v₂/v₁), (6.2)

ds=c_pdT/T–RdP/P,  s=c_pln(T₂/T₁)–Rln (P₂/P₁), (6.3)

ds=c_vdP/P+c_p dv/v,  s=c_v ln (P₂/P₁) + c_p ln (v₂/v₁). (6.4)

а). Изохорный процесс (v=const), dq=c_vdT.

ds=c_vdT/T  s=c_v ln(T₂/T₁)= c_v ln (P₂/P₁).

б). Изобарный процесс (P=const), dq=c_pdT.

ds=c_pdT/T  s=c_p ln(T₂/T₁)= c_p ln (v₂/v₁).

в). Изотермический процесс (T=const), du=c_vdT=dh= c_pdT=0.

T=Pv/R; dq=Pdv=–vdP, ds=Rdv/v=–RdP/P,

 s=R ln (v₂/v₁)= R ln (P₁/P₂).

г). Адиабатный процесс (dq=0), ds=0 (для обратимых процессов) s=0, s=const  изоэнтропийный процесс.

д). Политропный процесс (dq=c_п dT, c_п =const),

ds=c_пdT/T  s=c_п ln(T₂/T₁)= c_v(n–k)/(n–1) ln(T₂/T₁).

Для этого процесса T₂/T₁=(v₁/v₂)^n–1=(P₂/P₁)^(n–1)/n.

Замечание 1. Аддитивна энтропия S системы, удельная энтропия s – неаддитивная (интенсивная) величина, как и все удельные величины.

Пример. Два изолированных объема жидкости массой M₁ и М₂ разделены адиабатной (нетеплопроводной) перегородкой. Жидкости имеют одно и то же давление и температуры T₁ и T₂ соответственно. Определить изменение энтропии S этой системы после того, как перегородка убирается и жидкости смешиваются. Жидкость считать несжимаемой, теплоемкости с₁ и с₂ заданы и постоянны.

Решение

а). Температура, которая установится в системе (T_см – температура смешения), определяется из уравнений теплового баланса

с₁M₁(T_см–T₁)=Q₁, с₂M₂(T_см–T₂)=Q₂, Q₁+Q₂=0.

Решение этих уравнений: T_см=(с₁M₁T₁ + с₂M₂T₂) / (с₁M₁+ с₂M₂).

б). Для каждой жидкости dq=cdT и ds=cdT/T. Отсюда

В силу экстенсивности энтропии (полной, а не удельной) из этих равенств окончательно получаем

Замечание 2. Следует иметь в виду, что табличные значения внутренней энергии, энтальпии, энтропии (u_т, h_т, s_т), представленные в таблицах теплофизических свойств и соответствующих диаграммах состояния для различных веществ, в действительности представляют собой их приращения (h, u, s) относительно некоторого характерного для этого вещества (одного из многих) термодинамического состояния (P₀, V₀, T₀).

Например,

h_т(P₁, V₁, T₁)= h(P₁, V₁, T)– h₀(P₀, V₀, T₀)

и, очевидно,

h= h(P₂, V₂, T₂)– h(P₁, V₁, T₁)= h_т(P₁, V₁, T₁)= h_т.

Для воды обычно полагают, что u_т = h_т = s_т =0 в «тройной точке». Иногда полагают, что u_т = h_т = s_т =0 при нормальных физических условиях. Для каждого вещества нулевые точки разные, и здесь всегда требуется уточнение.

Эксергия рабочего тела

Под эксергией рабочего тела (ex) понимают максимальную полезную работу (работоспособность), которую можно получить от изолированной системы, состоящей из рабочего тела (источник работы) и окружающей среды, имеющей заданные фиксированные значения давления P₀ и температуры T₀. Для рабочего тела

ex=(u–u₀)–T₀(s–s₀)+P₀(v–v₀) (Дж/кг), (6.5)

где u, s, v – удельные внутренняя энергия, энтропия и объем рабочего тела в начальном неравновесном с окружающей средой состоянии; u₀ ,s_{0 ,} v₀ – те же величины в конечном равновесном с окружающей средой состоянии.

Эксергия потока вещества (рабочего тела)

ex=(h–h₀)–T₀(s–s₀) (Дж/кг), (6.6)

где h=u+Pv – энтальпия. Для идеального газа du=c_vdT, dh=c_pdT.

Эксергия теплоты. Максимальное количество полезной работы, которую можно получить в термодинамическом цикле за счет теплоты, сообщаемой рабочему телу горячим источником Q₁, при заданных температурах горячего T₁ и холодного T₂ <T₁ источников теплоты Q₂, называется эксергией (работоспособностью) теплоты. Ее величина определяется по формуле

ex=Q₁(1–T₂/T₁)=Q₁_t ,

где _t – термический к.п.д. цикла Карно.

Пример решения задач

Задача 1. Находящийся при нормальных физических условиях воздух объемом 10 м³ сжимается обратимо до конечной температуры 400ºC. Сжатие производится изохорно, адиабатно, изобарно, политропно с показателем n=2,2. Считать воздух идеальным двухатомным газом с =28,97 кг/кмоль; использовать теоретические значения теплоемкостей. Определить энтропию воздуха в конце каждого процесса, принимая ее равной нулю в исходном состоянии.

Решение

а). Находим массу воздуха:

.

б). Находим с_v, с_p, k= с_p/ с_v, с_п= с_v (n–k)/(n–1):

; ; ;

c_p=1004,5 Дж/(кг К)1,005 кДж/(кг К).

k= с_p/ с_v=7/5=1,4. c_п=717,5(2,2–1,4)/(2,2–1)=521,8 Дж/(кг К).

в). Определяем изменение энтропии в каждом процессе.

1. Изохорный процесс. Из формулы (6.2) следует (т.к. s₁=0)

;

2. Изобарный процесс. Из формулы (6.3) следует

.

3. Адиабатный процесс. Поскольку процесс обратимый, то это одновременно и изоэнтропийный процесс:

4. Политропный процесс (dS=Mc_пdT/T)

.

Задача 2. В сосуде объемом V=300 л заключен воздух при давлении P₁=5 МПа и температуре t₁=20ºC. Параметры среды: P₀=0,1 МПа, t₀=20ºC. Определить максимальную полезную работу, которую может произвести сжатый воздух, считая его идеальным двухатомным газом.

Решение

а). Переводим величины в единицы СИ: V=300·10^–3 м³ = 0,3 м³; P₁=5·10⁶ Па; T₁=293,15К.

б). В конечном состоянии P₂= P₀, T₂= T₀= T₁. Так как газ идеален, а T₂= T₁, то du=0 и u=0 (закон Джоуля).

В соответствии с (6.5), т.к. u=0, для 1 кг воздуха

ex=T₀(s₂–s₁)–P₀(v₂–v₁) (Дж/кг).

Из (6.3) получаем

s = s₂–s₁ = R ln (P₁/P₂)=(8314/28,97)·ln(5/0,1)1,123 кДж/(кг·К).

Масса воздуха

М=P₁V₁/RT₁  (5·10⁶·0,3)/(287·293)=17,84 кг.

v₁=V/M=0,0168 м³/кг; v₂= v₁ P₁/ P₂ = 0,841 м³/кг; V₂=v₂M=15 м³;

ex293·1123–10⁵(0,841–0,0168)=245,5 кДж/кг.

Для всей массы воздуха получаем

Ex= M ex  4377 кДж.

Задача 3. В проточном теплообменнике нагревается воздух. Параметры воздуха на входе в теплообменник: P₁=0,7 МПа, t₁=140ºC, на выходе P₂=0,63 МПа, t₂=800ºC. Параметры среды: P₀=0,1 МПа, t₀=15ºC. Определить изменение эксергии 1 кг потока воздуха в теплообменнике. Воздух считать идеальным газом.

Решение

а). Переводим величины в единицы СИ: P₁=7·10⁵ Па; T₁=413,15К; P₂=6,3·10⁵ Па; T₂=1073,15 К; P₀=10⁵ Па; T₀=288,15К.

б). Из уравнения (6.6) для эксергии потока на входе и выходе получаем (для 1 кг воздуха)

ex₁=h₁–h₀–T₀(s₁–s₀),

ex₂=h₂–h₀–T₀(s₂–s₀).

Изменение эксергии

d = ex₂ – ex₁ = h₂ – h₁ – T₀(s₂–s₁),

h = h₂ – h₁=c_p (T₂ – T₁) (закон Джоуля),

s = s₂ – s₁ = с_p ln (T₂/T₁) – R ln (P₂/P₁) (уравнение (6.3)),

h=1004,5(800–140)663 кДж/кг,

s=1004,5·ln (1073,15/413,15)–(8314/28,97)·ln(63/70)989 Дж/кг.

T₀s=288,15·989285 кДж/кг.

Окончательно

d=663–285=378 кДж/кг.

Задачи

6.1. 1 кг воздуха сжимается обратимо от P₁=1 бар и t₁=15ºC до P₂=5 бар и t₂=100ºC. Определить изменение энтропии. Теплоемкость считать постоянной.

6.2. Определить изменение энтропии в процессе испарения 3 кг азота в политропном процессе при изменении температуры от t₁=100ºC до t₂=300ºC. Показатель политропы n=1,2. Теплоемкости принять по молекулярно-кинетической теории. Изобразить процесс в P-v- и T-s-диаграммах.

6.3. Определить изменение энтропии в процессе испарения 1 кг воды при температуре, равной 100ºC, если известно, что теплота парообразования r=2257 кДж/кг.

6.4. 50 кг льда с начальной температурой –5ºC помещены в воздух с температурой +15ºC. Считая, что образующаяся при таянии вода нагреется до температуры воздуха, определить увеличение энтропии, происходящее в результате этого процесса. Теплота таяния льда =333 кДж/кг, теплоемкость льда с_p= =2,03 кДж/(кг·К). Теплоемкость воды принять равной 4,187 кДж/(кг·К).