Материал: Белозеров В.И., Яркин А.Н., Кузина Ю.А. Сборник задач по курсу Техническая термодинамика

Отсюда для удельных молярных (мольных) теплоемкостей

(Дж/кмоль K).

Удельная объемная теплоемкость для газов (с*) приводится к объему при нормальных физических условиях (V_н):

с*=μс/22,41 (Дж/м³ с)

и

с_p*– с_v*=R₀/22,41 (Дж/м³ K).

Для каждого вещества значения теплоемкостей определяются экспериментально и представлены в справочной литературе. Для оценочных расчетов можно принимать значения молярных теплоемкостей для разреженных газов (кДж/кмоль K), приведенные в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Следует различать истинную и среднюю теплоемкости.

По определению истинная теплоемкость c=dq/dT . Это функция температуры и процесса. Средняя теплоемкость связана с температурным интервалом: , . Очевидно, что . Подведенное тепло (энергия в форме тепла) рассчитывается обычно с использованием средних значений теплоемкостей:

.

Обычно знак усреднения (черта) опускается при использовании этих формул.

Замечание 1. С целью унификации таблиц и диаграмм принято считать, что внутренняя энергия равна нулю в «тройной» точке воды:

P = 610,8 Па; T = 273,16К=0,01ºC; v = 0,0010002 м³/кг.

В этой точке h = 0,611 Дж/кг.

Замечание 2. В силу исторических причин в энергетике также используется (вне системы единиц СИ) как единица энергии калория:

международная – 1 кал =4,1868 Дж;

15-градусная – 1 кал=4,1858 Дж;

термохимическая – 1 кал = 4,1840 Дж.

Иногда энергию измеряют в «лошадиных силах в час»:

1 л.с.ч = 75 кгс·м/с·3600 с = 75·9,8065 Н·м/c·3600 с ≈ 2648 кДж.

1 л.с. ≈ 736 Дж/с = 736 Вт.

Пример решения задач

Задача. В исходном состоянии азот (N₂) массой M₀ =3 кг имеет температуру T₁=20ºC и давление P₀=1,32 бар. При постоянном давлении (изобарный процесс) газу сообщается Q=14,331 ккал тепла. Считая газ идеальным, найти увеличение объема газа V, совершенную им работу, конечную температуру T₂, приращение внутренней энергии и энтальпии (U и H), удельную массовую и молярную теплоемкости газа при постоянном объеме ( ). Считать, что с_p(N₂)=1,047 кДж/(кг·K).

Решение

а). Переводим все заданные величины в систему единиц измерения СИ:

T₁=20ºC =293,15 K,

P₀=1,32 бар = 1,32·10⁵ Па,

Q=14,331 ккал = 14,331·4,1868 кДж. = 60·10³ Дж,

с_p(N₂)=1,047 кДж/(кг·K)=1047 Дж/(кг·K).

Пользуясь таблицей Менделеева, находим молярную массу атомарного азота μ(N) = 14 кг/кмоль. Определяем молярную массу молекулярного (2-атомного) азота μ = μ(N₂) = 2·μ(N) = = 28 кг/кмоль.

б). Поскольку процесс идет при постоянном давлении, то dP=0. Из первого закона термодинамики в форме (4.3) следует

Mh = H = c_pMT = Q (Дж) >0,

T = T₂–T₁ = Q/(Mc_p) = 60·10³/(3·1,047·10³) = 19,102 K,

T₂ = T₁+T = 293,15+19,102 = 312,252 K.

Таким образом, определены конечная температура T₂ и приращение энтальпии H=Q=60 кДж > 0.

в). Поскольку газ идеальный, в исходном и конечном равновесном состояниях имеем (R₀=8314 Дж/(кмоль·К))

P₀V₁ = M₀ · R₀/μ· T₁, (4.4)

P₀V₂ = M₀ · R₀/μ· T₂. (4.5)

Из (4.4) можно определить V₁:

V₁ = M₀ · R₀/μ· T₁/P₀= .

Разделив (4.4) на (4.5) (отдельно левые и правые части), получим

и

.

Соответственно, V = V₂ – V₁=0,1289 м³>0.

Так как в задаче требуется определить только V, а не V₂ и V₁, можно было бы вычесть из (4.5) (4.4) (отдельно левые и правые части):

P₀(V₂–V₁) = P₀ V = (M₀ · R₀/μ)(T₂ –T₁), V = (M₀ · R₀/μ)·T/P₀ = 0,1289 м³.

г). Единственная работа, которую может совершать газ в отсутствие каких-либо силовых полей, – это работа против сил внешнего давления (работа расширения dA=PdV). Таким образом,

= 1,32·10⁵·0,1289 Дж = 17,015 кДж.

Из первого закона термодинамики в форме (4.1), (4.3) следует

U = c_vMT = Q – A = (60–17,015) кДж = 42,985 кДж

и

с_v = U/(MT) = 0,750 кДж/(кг·K),

= μ с_v = 21,002 кДж/(кмоль·K).

Замечание. Теоретические, следующие из молекулярно-кинетической теории, значения

кДж/(кмоль·K),

кДж/(кмоль·K).

Задачи

4.1. Определить часовой расход топлива, который необходим для работы паровой турбины мощностью 25 МВт, если теплота сгорания топлива Q=33,85 МДж/кг, и известно, что на превращение тепловой энергии в механическую используется только 35% тепла сожженного топлива.

4.2. На тепловой электростанции за 24 ч работы сожжены 85 т каменного угля, имеющего теплоту сгорания 28900 кДж/кг. Определить среднюю мощность станции, если в электрическую энергию превращено 21% тепла, полученного при сгорании угля.

4.3. Мощность турбогенератора 12000 кВт, к.п.д. генератора равен 0,98. Какое количество воздуха необходимо пропустить через генератор для его охлаждения, если подогрев воздуха не должен превышать 40ºС, а начальная температура равна 20ºC?

4.4. Количество энергии, выделяющейся при расщеплении 1 кг ядерного горючего на АЭС, может быть условно названо «теплотой сгорания». Для урана эта величина равна 22,9 млн.кВт·ч/кг. Во сколько раз уран как горючее эффективнее каменного угля с теплотой сгорания 27500 кДж/кг?

4.5. Одним из важнейших компонентов атомной электростанции является реактор. Тепловой мощностью реактора называется полное количество тепла, которое выделяется в нем в течение часа. Обычно эту мощность выражают в киловаттах. Определить годовой расход ядерного горючего для реактора с тепловой мощностью 500000 кВт, если теплота сгорания применяемого для расщепления урана равна 22,9·10⁶ кВт·ч/кг, а число часов работы реактора составляет 7300.

4.6. Электрическая мощность первой АЭС равна 5000 кВт, а тепловая мощность реактора станции равна 30 МВт. Определить суточный расход урана, если выработка электроэнергии за сутки составила 120000 кВт·ч. Теплоту сгорания урана принять равной

22,9·10⁶ кВт·ч/кг. Определить также, какое количество угля, имеющего теплоту сгорания 25800 кДж/кг, потребовалось бы для выработки того же количества электроэнергии на тепловой электростанции, если бы к.п.д. ее равнялся к.п.д. АЭС.

4.7. При испытании двигателей внутреннего сгорания часто используются гидротормоза. Работа двигателя при торможении превращается в теплоту трения, и для уменьшения нагрева применяется водяное охлаждение. Определить часовой расход воды на охлаждение тормоза, если мощность двигателя равна 45 л.с., начальная температура воды 15ºC, конечная – 60ºC. Принять, что вся теплота трения передается охлаждающей воде.

4.8. При испытании нефтяного двигателя было найдено, что удельный расход топлива равен 170 г/л.с.·ч. Определить эффективный к.п.д. этого двигателя, если теплота сгорания топлива 41000 кДж/кг.

4.9. Паросиловая установка мощностью 4200 кВт имеет к.п.д. η=0,2. Определить часовой расход топлива, если его теплота сгорания 25000 кДж/кг.

4.10. Сколько килограммов свинца можно нагреть от температуры 15ºC до температуры его плавления t_пл=327ºC посредством удара молота массой 200 кг при падении его с высоты 2 м? Предполагается, что вся энергия падения молота превращается в теплоту, целиком поглощаемую свинцом. Теплоемкость свинца c_p=0,1256 кДж/(кг·К).

4.11. С высоты 92 м на твердую поверхность падает свинцовый шар. При этом потенциальная энергия шага переходит в теплоту, 83% которой им усваивается. На сколько градусов нагреется при падении шар? Теплоемкость свинца c_p=0,1256 кДж/(кг·К).

4.12. Какова должна быть скорость свинцовой пули, чтобы при ударе о стальную плиту она полностью расплавилась? Предполагается, что в момент удара температура пули равна 27ºC. Температура плавления свинца равна 327ºC, теплота плавления r_пл=20,934 кДж/кг, а теплоемкость 0,1256 кДж/(кг·К).

4.13. Во время испытаний двигатель тормозится. На сколько градусов нагреется охлаждающая тормоз вода, если крутящий момент двигателя 5 кДж, а частота вращения 1500 об/мин? Известно, что к колодкам тормоза подводится 10 т/ч воды при температуре 15ºC. Предполагается, что вся работа двигателя превращается в теплоту трения.

4.14. Какое количество охлаждающей воды следует подавать на колодки испытательного тормоза в 1 ч, если мощность двигателя 55 кВт, температура охлаждающей воды 15ºC, а предельно допустимая температура воды на выходе 78ºC, причем 25% теплоты трения рассеивается в окружающей среде?

4.15. При торможении двигателя охлаждающая тормозные колодки вода нагревается на 25 К. Расход воды равен 1650 кг/ч. Определить мощность двигателя, если 30% теплоты трения рассеивается в окружающей среде.

4.16. Какова стоимость энергии, необходимой для того, чтобы поднять 2 т оборудования на вершину телевизионной башни высотой 516 м, если цена электроэнергии составляет 2,5 руб/(кВт·ч), а к.п.д. подъемного крана η=0,86?

4.17. На сжатие 3 кг метана (CH₄) затрачено 800 кДж работы, при этом внутренняя энергия газа увеличилась на 595 кДж. Определить количество тепла и указать, подводится оно или отводится; определить изменение температуры и энтальпии газа, если мольная теплоемкость метана при постоянном объеме равна 26,48 кДж/(кмоль·град).

4.18. Определить изменение внутренней энергии стального стержня диаметром 20 мм, нагруженного постоянной растягивающей силой 0,3 МН, при изменении его температуры от 0 до 20ºС. Коэффициент линейного расширения стали 1,3·10^-5 град^-1, теплоемкость 0,46 кДж/(кг·К), плотность 7800 кг/м³. Работой стержня против сил атмосферного давления пренебречь.

4.19. В калориметрической бомбе емкостью 300 см³, заполненной кислородом при давлении 25 бар и температуре 20ºC, сгорает 0,3 г топлива, имеющего теплотворную способность 25100 кДж /кг. Определить повышение давления и температуру в конце сгорания, пренебрегая теплоотдачей к стенкам бомбы.

4.20. Шарообразный газгольдер диаметром 8 м заполнен природным газом (метаном – СН₄) при давлении 1,5 бар и температуре 0ºC. Определить повышение давления в газгольдере и изменение внутренней энергии газа, когда в результате нагрева солнечными лучами температура газа повысится до 293 К. Известная мольная теплоемкость метана при постоянном давлении μс_p=34,7 кДж/(кмоль·К).

4.21. Избыточное давление водорода, находящегося в баллоне емкостью 40 л, в результате нагревания баллона повысилось с 140,3 бар до 15,2 МПа. Определить количество тепла, полученное водородом, и изменение его температуры, внутренней энергии и энтальпии, если начальная температура 17ºC, теплоемкость c_p=14,05 кДж/(кг·K). Барометрическое давление составляет 743 мм рт.ст.