Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

7. Проверяется условие u < u . Если оно выполняется, то расхождение между экспериментальным (статистическим) и теоретическим законами распределения несущественно (гипотеза H0 принимается). В противном случае гипотеза H0 бракуется.

Достоинством метода К. Пирсона является то, что его можно применять и в том случае, когда известен только вид теоретического распределения, но не известны параметры распределения.

В этом случае параметры распределения заменяются их оценками, полученными по результатам испытаний, а число степеней свободы x2-распределения ПС уменьшается на число заменяемых параметров.

К недостаткам метода К. Пирсона относят следующее:

метод применим при большом объеме выборки (n $ 100), так как распределение ПС описывается x2-распределением только при достаточно большом n;

достоверность выводов существенно зависит от способа разбиения выборки на интервалы. Число интервалов должно быть не менее 10, а количество попаданий исследуемой переменной X в любой из интервалов — не менее 5. Если это условие не выполняется, то интервалы объединяют.

Пример 13.1. Радиоактивное вещество наблюдалось в 1 00 испытаниях, при каждом из которых регистрировалось число частиц, попавших в счетчик за один и тот же промежуток времени.

Результаты испытаний представлены в табл.1 . .

Таблица 13.3

Установить закон распределения числа частиц, выделяющихся при радиоактивном распаде за данный промежуток времени.

452

Решение

Исходя из сущности рассматриваемого явления, предполагаем, что распределение числа частиц подчиняется закону Пуассона, и проверяем выдвинутую гипотезу с помощью соответствующего ПС.

1. По формуле (1 .14) при xcpj = j находим значение параметра распределения Пуассона, соответствующее полученным результатам:

* = , 85.

2. По формуле (1 .1 ) определяем число степеней свободы ПС k, приняв m = 11 и s = 1

k = 11 2 1 2 1 = 9.

. Принимаем уровень значимости ПС = 0,10 вероятностей x2-распределения, и по табл. 1 приложения находим соответствующее критическое значение u = 14,7.

4. Рассчитываем по формуле (1 .12) значение ПС u*, соответствующее результатам испытаний. При этом случайные величины Nj заменяем числами nj, а вероятности Pj( *) определяем с помощью таблицы вероятностей (см. приложение табл. 6) распределения Пуассона при m = * и k = j = 0, 1, 2, …, 10 (см.

табл. 1 .4).

45

Окончание табл. 13.4

5. Сопоставляя значения u = 9,9 и u = 14,7, приходим к выводу о том, что результаты испытаний не противоречат выдвинутой нами гипотезе о виде закона распределения.

13.3.Методыпроверкигипотезопараметрахзаконов распределения

13.3.1.Проверкагипотезоравенствематематическихожиданий

Предположим, что имеются две нормально распределенные случайные переменные X и Y, математические ожидания которых неизвестны. Над этими переменными производят соответственно n1 и n2 наблюдений, т. е. получают случайные вы-

борки , . По этим выборкам находят оценки математических ожиданий

(1 .16)

Требуется по полученным оценкам проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий mx и my.

Такая задача ставится потому, что, как правило, оценки математических ожиданий оказываются различными. Это обусловлено тем, что отличны и оценки и математические ожидания, либо математические ожидания одинаковы, а различие оценок вызвано случайными причинами.

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. mx и my одинаковы, то различие в оценках и будет за счет

454

действия случайных причин. В противном случае это различие обусловлено отличием математических ожиданий.

При проверке гипотез о равенстве математических ожиданий следует различать два случая: в первом — точность результатов измерений известна (известны стандартные отклонения sx и sy), во втором — точность неизвестна.

точностьрезультатовизмеренийизвестна

При проверке нулевой гипотезы в этом случае в качестве показателя согласованности принимают случайную величину

(1 .17)

Показатель согласованности (1 .17) распределен по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, при условии, что справедлива нулевая гипотеза и дисперсия равна единице, т. е. u [ N(0,1).

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы, которая может быть сформулирована тремя способами:

H1: mx my; H1: mx > my; H1: mx < my.

Рассмотрим методику проверки гипотезы H0 для первого способа, как наиболее часто встречающегося при решении практических задач

H0: mx = my; H1: mx my.

В этом случае строят двустороннюю критическую область так, чтобы вероятность попадания в нее значений ПС при предположении о справедливости H0 была равна принятому уровню значимости /2 (рис. 1 .5).

Наибольшая мощность критерия обеспечивается в том случае, когда левая и правая границы критической области выбраны так, что вероятность попадания ПС в каждый из двух интервалов критической области равна /2, т. е.

455