Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

где , — оценки математических ожиданий случайных переменных X и Y.

По полученным оценкам и необходимо вынести суждение о равенстве истинных значений дисперсий Dx и Dy, т. е. проверить нулевую гипотезу H0: Dx = Dy.

Если нулевая гипотеза будет справедлива, то это означает, что выборочные оценки и представляют собой оценки одной и той же дисперсии, а их различие обусловлено случайными причинами. В противном случае различие дисперсий существенно.

В качестве показателя согласованности проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий принимают случайную величину

(1 .2 )

Показатель согласованности (1 .2 ) имеет распределение Фишера (F-распределение) с числами степеней свободы k1 = n1 2 1 и k2 = n2 2 1. Известно, что распределение Фишера зависит только от значений чисел степеней свободы и не зависит от других параметров. Плотность распределения Фишера показана на рис. 1 .6.

Для распределения Фишера составлена таблица значений up, удовлетворяющих равенству

(1 .24)

при различных комбинациях k1, k2 и значениях вероятности P, равных 0,01 и 0,05 (табл.14 приложения).

461

2. Вычисляют значение показателя согласованности по формуле (1 .25) или (1 .26) в зависимости от соотношения оценок дисперсий.

. Задают уровень значимости и находят по таблице вероятностей Фишера критическое значение показателя согласованности up. Входами в таблицу являются числа степеней

свободы k1, k1 и .

4. Проверяют справедливость нулевой гипотезы. Если выполняется неравенство u < up, то нулевую гипотезу принимают. В противном случае ее отклоняют как несправедливую.

Показатель согласованности (1 .2 ) можно использовать при сравнении дисперсий и в том случае, когда одна из них известна, т. е. для нее найдена не оценка, а точное значение.

При этом число степеней свободы закона распределения Фишера в числителе или знаменателе ПС следует устремить к бесконечности. В остальном, методика проверки гипотезы остается прежней.

Пример13.3.По результатам измерений при стендовых испытаниях десяти ЖРД определены числовые характеристики секундного расхода окислителя, значения которых оказались равными:

кг/с и кг/с.

При летных испытаниях десяти ракет с двигателями той же партии получены значения числовых характеристик:

кг/с и кг/с.

Требуется установить, изменяются ли действительные значения числовых характеристик в зависимости от того, в каких условиях работают двигатели (на стенде или в полете), если для измерения секундного расхода при стендовых и летных испытаниях использовались однотипные датчики.

Решение

1. Проверяем гипотезу о равенстве средних квадратических отклонений (дисперсий) секундного расхода, окислителя, для чего:

464

а) принимаем уровень значимости ПС равным 0,1 и по таблице F-распределения при числах степеней свободы k1 = k2 = 9 и P = 0,05 находим критическое значение up = ,18;

б) по формуле (1 .25), заменяя в ней и на и , вычисляем значение ПС u, отвечающее результатам испытаний:

u = (2,1/1,9)2 = 1,22.

Поскольку вычисленное значение ПС оказывается в области допустимых значений при достаточно высоком уровне значимости, можно считать, что результаты испытаний не противоречат гипотезе о равенстве средних квадратических отклонений секундного расхода окислителя при работе двигателей на стенде и в полете.

2. Проверяем гипотезу о равенстве математических ожиданий секундного расхода окислителя. Для этого, принимая во внимание результаты проверки гипотезы о равенстве дисперсий, используем ПС вида (1 .21):

а) по формуле (1 .22) вычисляем число степеней свободы показателя согласованности

k = 10 + 10 2 2 = 18;

б) принимаем уровень значимости ПС равным 0,1 и по таблице распределения Стьюдента при числе степеней свободы k = 18 находим критическое значение ПС |u | = 1,7 4;

в) определяем значение ПС, отвечающее результатам испытаний

Сопоставляя вычисленное значение ПС с критическим, приходим к выводу о том, что результаты испытаний не противоречат гипотезе о равенстве математических ожиданий секундного расхода окислителя при работе двигателей на стенде и в полете.

465