Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

F*(x), F(x) — соответственно статистическая и теоретическая функции распределения исследуемой случайной переменной X.

Независимо от вида закона распределения случайной переменной X функция распределения ПС при n → ` имеет вид

(1 .5)

где k — число степеней свободы;

u — показатель согласованности.

В качестве критической области используется правосторонняя область, границу u которой определяют из условия

= P(u $ u ) = 1 2 P(u < u ) = 1 2 F(u = ua),

т. е. она равна квантилю случайной величины u при аргументе

где F21(*) — функция, обратная функции распределения показателя согласованности.

Для определения u в соответствии с формулой (1 .6) составлена специальная табл. 1 .1.

Проверка нулевой гипотезы методом А. Н. Колмогорова производится следующим образом.

1.По результатам испытаний строят статистическую функцию распределения F*(x) (рис. 1 .4).

2.На том же графике строят функцию F(x) теоретического закона распределения, принятого в качестве нулевой гипотезы.

. По графику определяют максимальную величину модуля разности ординат статистической и теоретической функций распределения и вычисляют значение показателя согласованности u по формуле (1 .4).

446

4. Назначаютуровеньзначимостикритерия ипотабл. 1 .1 определяют критическое значение показателя согласованнос-

ти u .

5. Проверяют справедливость выдвинутой гипотезы H0. Если выполняется неравенство u $ u , то гипотезу H0 бракуют, в противном случае делают вывод, что результаты испытаний не противоречат гипотезе о том, что исследуемая случайная переменная X подчинена закону распределения с функцией F(x).

Достоинством метода А. Н. Колмогорова является его простота и отсутствие сложных расчетов. Однако для его применения необходимо знать не только вид теоретического закона распределения, но и его параметры. Кроме того, метод учитывает только максимальное отклонение статистической функции распределения от теоретической функции, а не закон изменения отклонения по всему размаху выборки.

Проверкагипотезметодомн.в.смирнова

При проверке гипотезы данным методом в качестве меры рассогласования теоретического и статистического законов распределения принимается функция разности статистической и теоретической функции распределения. В качестве показателя согласованности используется среднее значение разности по всей области определения функции распределения.

447

Если исследуемая случайная переменная X непрерывного типа, то ПС определяется выражением

(1 .7)

Для дискретной случайной величины выражение (1 .7) запишется в виде

(1 .8)

где Pi — вероятность появления в выборке значения xi.

На практике для удобства вычислений выражение (1 .8) преобразуют к виду

(1 .9)

Значения критической границы u в зависимости от уровня значимости критерия приведены в табл. 1 .2. Они рассчитываются в соответствии с законом распределения ПС по формуле

u = F21(1 2 ),

где F21(*) — функция, обратная функции распределения показателя согласованности.

Проверка нулевой гипотезы методом Н. В. Смирнова производится в следующем порядке:

1.Вычисляют по результатам испытаний значение показателя согласованности u в соответствии с (1 .9).

2.Назначают уровень значимости и по таблице 1 .2 опре-

деляют значение границы критической области u .

. Проверяют справедливость нулевой гипотезы H0. Если выполняется неравенство u > u , то гипотеза H0 отклоняется.

448

Если же u # u , то делается вывод о том, что результаты испытания не противоречат гипотезе о распределении переменной X по предполагаемому закону с функцией F(x).

Проверкагипотезметодомк.Пирсона

В качестве меры расхождения теоретического и статистического законов распределения принята сумма квадратов разностеймеждучастотойивероятностьюпопаданияисследуемой случайной переменной X в интервалы, на которые разбивается множество возможных значений этой переменной

(1 .10)

где m — число интервалов, на которые разбивается множество возможных значений при построении статистической функции распределения.

Коэффициенты Cj вводятся для того, чтобы учесть неравнозначность абсолютных значений разностей при различных значениях вероятности Pj. Поскольку одно и то же значение разности является малозначимым при большой вероятности Pj и представляет собой заметную величину, когда Pj мала.

К. Пирсон показал, что если коэффициенты Cj определять в соответствии с выражением

то при большом объеме выборки закон распределения случайной величины u, определяемой формулой (1 .10), практически не зависит от вида закона распределения случайной переменной Xи объема выборки n, а зависит только от числа интервалов m. При этом при увеличении m закон распределения случайной величины u приближается к x2 (хи-квадрат)-распределению с числом степеней свободы k = m 2 1.

На практике в качестве ПС используют и случайную величину

(1 .11)

449

гдевал; nj — число результатов испытаний, попавших в j-й интер-

Pj — вероятность попадания результата испытания в j-й интервал при теоретическом законе распределения исследуемой переменной X.

Взависимости от формы представления результатов испы-

таний (исходными данными для проверки гипотезы являются или nj) в качестве ПС принимают выражение (1 .10) либо (1 .11).

Вдальнейшем будем рассматривать ПС вида (1 .11).

Если параметры теоретического закона, который принят в качестве нулевой гипотезы, неизвестны, то вычисление вероятностей Pj не представляется возможным. Оказывается, что если при определении этих вероятностей вместо неизвестных значений параметров теоретического распределения подставить соответствующие их оценки , полученные по результатам испытаний, то случайная величина

(1 .12)

при n → ` также будет иметь x2-распределение, но с числом степеней свободы

где s — число неизвестных параметров теоретического закона распределения.

Так, например, для нормального закона распределения s = 2 (параметры — математическое ожидание и дисперсия), для показательного — s = 1 (параметр — коэффициент l) и т. д.

Таким образом, для проверки нулевой гипотезы в качестве показателя согласованности принимают случайную величину (1 .12). При этом неизвестные значения параметров теоретического распределения определяют с помощью статистических оценок.

При группировании результатов испытаний по интервалам для нахождения оценок математического ожидания и дисперсии обычно используют формулы

450