Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Для записи нулевой и альтернативной гипотез используют специальное обозначение. Предположим, что нулевая гипотеза состоит в проверке предположения о равенстве математического ожидания случайной переменной X некоторому числу , а альтернативная — математическое ожидание не равно . Записывают гипотезы следующим образом:

H0: mx = ,

H1: mx

Различают гипотезы простые и сложные. Гипотеза простая, если она содержит одно предположение. Например, H0: mx = 10. Еслигипотезасодержитконечноеилибесконечноечислопредположений, то ее называют сложной. Например, гипотеза mx > 10.

Эта гипотеза содержит бесконечное число гипотез вида

Hi: mx = i,

где i — любое число, превосходящее 10.

В качестве ПС выбирают случайную величину u, которая должна быть функцией гипотетических данных и данных результатов испытаний. Конкретный вид ПС может быть различным для различных гипотез.

Например, при проверке гипотезы о законе распределения случайной переменной X показатель согласованности задается в виде зависимости от гипотетической функции распределения F(x) (функции распределения, выдвинутой в качестве нулевой гипотезы) и статистической функции распределения F*(x), полученной по результатам испытаний

При проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий двух случайных переменных X и Y показатель согласованности должен быть функцией оценок математических ожиданий и дисперсий, полученных по результатам испытаний

Показатель согласованности должен удовлетворять следующим требованиям.

4 6

1.Закон распределения ПС должен зависеть от нулевой и альтернативной гипотез.

2.Закон распределения должен быть известен полностью, включая и его параметры.

Наибольшее распространение получили ПС, распределенные по нормальному закону, законам хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.

Следует отметить, что в литературе по математической статистике используют обозначение ПС различными буквами. Например, ПС, распределенный по нормальному закону, часто обозначают буквой Y или Z, по закону хи-квадрат — x2, по закону Стьюдента — T, по закону Фишера — F.

. Закон распределения ПС должен быть инвариантен к виду закона распределения исследуемой случайной переменной (не должен изменяться при смене закона распределения случайной переменной).

4.Закон распределения ПС должен быть критичен по отношению к проверяемой гипотезе. Это означает, что условные

плотности распределения f (u/H0) и f (u/H1) должны существенно отличаться друг от друга.

Полученное по результатам испытаний значение ПС называют частным значением и обозначают u*.

Для проверки гипотезы необходимо задать правило, на основе которого множество возможных значений u* ПС разбива-

ется на два подмножества: подмножество u0, при попадании в которое принимается гипотеза H0, и подмножество u0, при попадании в которое гипотеза H0 отклоняется (принимается гипотеза H1). Область, соответствующую подмножеству u0, на-

зывают областью допустимых значений (областью принятия

гипотезы H0), а область, соответствующую подмножеству u1,

критической областью ПС.

Показатель согласованности представляет собой скалярную случайную величину. Поэтому допустимая и критическая области представляют интервалы возможных значений ПС и, следовательно, существует точка, которая их разделяет. Эту точку называют критической точкой (границей).

4 7

В зависимости от вида закона распределения ПС критические точки находят по соответствующим таблицам.

При статистической проверке гипотез можно совершить два рода ошибок.

Под ошибкой первого рода понимают принятие решения об отклонении нулевой гипотезы в случае, когда в действительности она оказывается справедливой. Вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости критерия . Действительно, при уровне значимости вычисленное значение ПС u* в среднем в 100 случаях из каждой сотни может оказаться в критической области при истинной H0.

Под ошибкой второго рода понимают принятие решения о справедливости нулевой гипотезы в случае, когда в действительности она оказывается неверной (справедлива в действи-

тельности H1, но она отклоняется). Вероятность ошибки второго рода обозначают b.

Для уяснения сущности ошибок первого и второго рода на рис. 1 .2 показаны условные плотности f (u/H0), f (u/H1) и правосторонняя критическая область с критической границей u .

Из определения ошибки первого рода следует, что ее вероятность численно равна вероятности попадания ПС u в критическую область при справедливой нулевой гипотезе

Чем меньше уровень значимости , тем реже будет допускаться ошибка первого рода, т. е. отвергаться правильная гипо-

тезаПоH0.смыслу вероятность ошибки второго рода численно равна вероятности попадания ПС в область допустимых значений при условии справедливой альтернативной гипотезы H1, т. е.

Как видно из рис. 1 .2 уменьшение вероятности ошибки первого рода приводит к возрастанию ошибки второго рода и наоборот.

440