Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

ный и характеристика точности измерений sx неизвестна. В этом случае вместо sx в формуле (12. 9) подставляется .

При малом необходимом числе испытаний в условиях, когда характеристика точности результатов измерений sx неизвестна и вместо нее используют оценку , потребный для определения математического ожидания объем выборки удовлетворяет неравенству:

(12.40)

Поскольку правая часть неравенства (12.40) зависит от n (через t ,k и ), то потребный объем выборки nтр находят методом последовательных приближений и он равен наименьшему из значений n, обеспечивающих выполнение неравенства (12.40).

12.5.4.Оцениваниестандартногоотклонения

Ограничимся рассмотрением методики оценки стандартного отклонения с помощью доверительного интервала, отвечающего доверительной вероятности , только для случая, когда результаты измерений описываются нормальным законом распределения.

Для определения границ доверительного интервала воспользуемся тем, что случайная величина

(12.41)

имеет x2 (хи-квадрат)-распределение. Плотность распределения x2 имеет вид

при t > 0;

при t # 0,

где G(*) — гамма-функция.

426

x2 (хи-квадрат)-распределение имеет один единственный параметр — число степеней свободы k. Причем, если при известном математическом ожидании mx используется оценка дисперсии в форме (12.15), то в (12.41) следует положить k = n. Если же дисперсия оценивается при неизвестном математическом ожидании, то число степеней свободы k следует принять равным (n ] 1). График плотности x2-распределения показан на рис. 12.10.

Для x2-распределения составлена таблица (табл. 11 приложения), в которой приведены значения вероятностей

(12.42)

С помощью этой таблицы находят два значения t1 и t2 которые удовлетворяют условию

Данное неравенство равносильно неравенству

Поэтому выражение (12.4 ) запишем в виде

Таким образом, интервал

(12.44)

накрывает искомое значение sx с вероятностью .

427

дят значения q1 и q2, по которым входят в таблицу x2-распреде- ления с соответствующим числом степеней свободы, где отыскивают значения t1 и t2;

вычисляют левую и правую границы доверительного интервала Ia,k:

(12.48)

Для построения центрального доверительного интервала можно использовать табл. 10 приложения. Эта таблица позволяет легко построить доверительный интервал для среднего квадратического отклонения для четырех наиболее часто употребляемых значений доверительной вероятности. В этом случае достаточно из таблицы выбрать два значения коэффициентов z1 и z2, на которые необходимо умножить полученную оценку , и получить левую и правую границы доверительного интервала.

Из выражений (12.48) видно, что длина интервала является случайной, поскольку зависит от оценки . Кроме того, сам интервал оказывается несимметричным относительно . Поэтому нельзя утверждать, что с вероятностью a ошибка определения неизвестного значения sx на основе оценки (12.15) не превышает половины длины такого интервала. Его можно использовать лишь как интервал значений sx, согласующихся с результатами измерений.

Границы симметричного интервала выбирают следующим образом.

Значения t1 и t2 в выражении (12.44) принимают равными: (12.49)

В этом случае границы доверительного интервала определяются соотношениями

429

(12.50)

Значения g определяют по таблице вероятностей

(12.51)

составленной на основе x2-распределения (табл. 12 приложения). Входом в таблицу является число степеней свободы k и величина q, определяемая по формуле

(12.52)

Приопределениидоверительногоинтервалаgпозаданным значениям и k из таблицы L(q, k) находят значение q. Границы доверительного интервала для sx определяют из равенств (12.50) при или из равенств

(12.5 )

Полученный доверительный интервал имеет случайный центр и случайную длину. Ошибка определения неизвестного значения стандартного отклонения sx на основе оценки с вероятностью не превышает по абсолютной величине половины длины симметричного доверительного интервала, т. е. g. Таблицы указанных в данном параграфе статистических распределений опубликованы в целом ряде источников, например [ , 5, 14].

Задачидлясамостоятельногорешения

1.При измерении дальности до объекта получено два значения 524 м и 506 м. Определить приближенное значение расстояния до объекта и его среднее квадратическое отклонение, если точность измерения характеризуется средним квадратическим отклонением равным 10 м.

2.Расстояние до ориентира измерено тремя способами, которые характеризуются средними квадратическими отклонениями равными 75, 0, и 15 м. Результаты измерений соответственно равны 425, 575 и 520 м. Найти:

а) приближенное значение расстояния;

4 0