Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

выборки при известной и неизвестной характеристиках рассеивания результатов испытаний. Рассмотрим последовательно эти случаи.

случайбольшойвыборки

Если объем выборки большой, то при любом распределении результатов моделирования распределение оценки математического ожидания (12.10) близко к нормальному с параметрами

(12.29)

Предположим, что характеристика точности результатов измерений sx известна.

Тогда случайная величина

(12. 0)

будет иметь также нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице,

т. е. Y [ N(0;1).

Доверительная вероятность будет определяться соотношением

(12. 1)

С учетом того, что случайная величина Y имеет нормальное распределение, соотношение (12. 1) запишется в виде

(12. 2)

Разрешив уравнение (12. 2) относительно g, получим

(12. )

где — функция, обратная табличной функции Лапласа.

421

Интервал

(12. 4)

накрывает неизвестное значение mx с вероятностью . Длина интервала зависит только от уровня доверительной вероятности и от стандартного отклонения оценки , с помощью

которой определяется неизвестное значение mx. Величина , как это следует из равенства (12.29), определяется числом измерений n и стандартным отклонением sx, характеризующим точность измерений. Таким образом, в рассматриваемом случае при фиксированных значениях , n, sx длина доверительного интервала является постоянной. Случайным этот интер-

полученную по результатам n измерений, что при большом n вполне допустимо. При этом доверительный интервал (12. 4) имеет вид

(12. 5)

Этот интервал имеет не только случайный центр , но и случайную длину, так как она является функцией оценки среднего квадратического отклонения .

Определение доверительного интервала при известной доверительной вероятности и фиксированном n производится в такой последовательности:

по результатам n испытаний получают оценки и по формулам (12.10) и (12.15) соответственно;

из таблицы функции Лапласа (табл. 2 приложения) по вероятности находят значение y ;

по формуле (12. 5) рассчитывают границы доверительного интервала I.

422

Для определения доверительной вероятности при известном размахе доверительного интервала g и фиксированном числе измерений n необходимо:

по результатам n измерений по формуле (12.15) получить оценку ;

вычислить значение ;

по величине y в таблице функции Лапласа найти значение доверительной вероятности .

случаймалойвыборки

Если закон распределения результатов измерения нормальный, то оценка будет иметь нормальное распределение при любом объеме выборки. Поэтому при известном значении sx доверительный интервал и доверительная вероятность определяются аналогично, как и в первом случае (при большом объеме выборки). Однако, если характеристика точности результатов измерений sx неизвестна, при малом объеме выборки замена стандартного отклонения sx его оценкой может привести к грубым ошибкам. Поэтому для оценки точности и достоверности определения математического ожидания в этом случае используется нормированная разность

(12. 6)

в которой оценка определяется соотношением (12.10), а оценка — соотношением (12.15).

Поскольку знаменатель выражения (12. 6) является случайной величиной, нормированная разность T оказывается распределенной по закону, отличному от нормального. Это распределение называют распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета).

Выражение для плотности распределения Стьюдента имеет вид

42

равенство |T| < ta,k с учетом выражения (12.36) равносильно неравенству

Следовательно, соотношение (12.37) может быть представлено в виде

Таким образом, интервал

(12.38)

накрывает неизвестное значение mx с вероятностью a, т. е. является искомым доверительным интервалом.

Последовательность решения задач определения доверительного интервала и доверительной вероятности такая же, как и в первом случае, но значение ta,k выбирают из таблицы Стьюдента, входом в которую является вероятность a и число степеней свободы k.

Для определения математического ожидания с заданной точностью и достоверностью требуется вполне определенное число измерений nтр.

Разрешив относительно n уравнение (12.33), получим

(12.39)

Для определения необходимого числа испытаний данную зависимость можно использовать:

при любом необходимом числе реализаций, если распределение результатов измерений описывается нормальным законом и характеристика точности измерений sx известна;

при большом необходимом числе реализаций (n > 30), если закон распределения результатов измерений произволь-

425