Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

пешных» реализаций, а не хранить результаты всех испытаний. Для оценки математического ожидания накапливают сумму возможных значений случайной величины Xi: i = 1, 2, …, n, которые она принимает в различных реализациях.

Непосредственное вычисление оценки дисперсии по формуле (12.15) нерационально, так как среднее значение изменяется в процессе накапливания значений xi. Это приводит к необходимости запоминания всех n значений xi. Поэтому более рационально организовать фиксацию результатов моделирования для вычисления оценки дисперсии с использованием следующей формулы [1, 10, 1 ]:

Это значит, что для вычисления оценки дисперсии необходимо и достаточно накапливать две суммы: xi и их квадратов .

12.4.4.Определениечисловыххарактеристикслучайныхвеличин прибольшомобъемевыборки

При очень большом числе результатов измерений (несколько десятков или сотен) определение числовых характеристик случайных величин с помощью оценок (12.10) и (12.15) требует громоздких вычислений. Поэтому в таких случаях часто используют упрощенный способ решения задачи. Сущность его заключается в том, что результаты измерений группируют по интервалам, т. е. представляют их в виде статистического ряда, а искомые числовые характеристики определяют с помощью оценок следующего вида:

(12.16)

где m — число интервалов;

411

— частота попадания результатов измерений в j-й интервал;

xcpj — координата середины j-го интервала.

Выражения (12.16) аналогичны выражениям (12.10), (12.15) и (9.16), (9.22), определяющим математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины. Разница состоит только в том, что здесь вероятности заменены частотами, а математическое ожидание mx — статистическим средним .

12.5.интервальноеоцениваниечисловыххарактеристик случайныхвеличин

12.5.1.Понятиедоверительнойвероятности

идоверительногоинтервала

При точечном оценивании получаются лишь приближенные значения искомых параметров. Степень рассеивания этих значений относительно истинных характеризуется дисперсиями (стандартными отклонениями) оценок. Однако знание этих дисперсий обычно оказывается недостаточным. Иногда требуется знать, насколько значение истинного параметра, полученное с помощью оценки при том или ином объеме выборки, отличается от истинного значения данного параметра, т. е. какой является ошибка:

(12.17)

Из равенства (12.17) видно, что величина погрешности случайна, а истинное значение x неизвестно. Поэтому нельзя определить значение погрешности, даже зная оценку . Относительно погрешности можно сделать суждение вероятностного характера. Такие суждения обычно делают на основе понятия доверительного интервала.

Под доверительным интервалом понимают случайный интервал, который с некоторой вероятностью накрывает истинное значение искомого параметра:

(12.18)

412