Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Решение

1.Представляем результаты измерений в виде статистического ряда.

2.Рассчитываем по формулам (12.4) значения статистической функции распределения в точках, отвечающих границам выбранных интервалов.

. Определяем высоты прямоугольников гистограммы (ор-

динаты функции f*(dp)) для каждого интервала разбиения полученных результатов измерений, используя для этого форму-

лу (12.5).

Результаты расчетов по пунктам 1, 2, представлены в табл. 12.6.

Таблица 12.6

статистическая плотность и функция распределения

4. Строим графики статистической функции распределения (рис. 12. ) и плотности распределения (рис. 12.4).

Следует отметить, что неудачное разбиение на интервалы результатов измерений при составлении статистического ряда проявляется при построении гистограммы: она будет иметь либо «провалы», либо окажется невыразительной.

Полученные статистические функцию и плотность распределения аппроксимируют подобранным теоретическим законом. Затем проверяют гипотезу о согласованности теоретического и статистического законов распределения. Методы проверки гипотез о законах распределения изложены в главе 1 .

402

12.4.точечноеоцениваниечисловыххарактеристик случайныхвеличин

12.4.1.Оцениваниевероятностинаступленияслучайногособытия

Данную задачу приходится решать, если результат эксперимента описывается случайным событием и в качестве характеристики свойства исследуемого объекта целесообразно принимать вероятность наступления некоторого события. Например, целью эксперимента является исследование надежности какой-либо системы. В качестве показателя надежности системы принята вероятность ее безотказной работы в течение определенного времени T. Для определения данного показателя планируется провести испытания n систем. Результат функционирования каждой системы можно описать случайным событием: за время T система не отказала либо наступил ее отказ. Результаты испытания n систем рассматривают как выборку объема n из генеральной совокупности.

Необходимость решения аналогичных задач возникает при исследовании эффективности боевых действий с помощью

40

имитационных моделей. В этом случае результаты n «прогонов» модели на ЭВМ рассматривают как выборку из генеральной совокупности.

По результатам n испытаний подсчитывают число испытаний nj, в которых наступило интересующее нас событие. Затем находят частоту наступления этого события

которую принимают в качестве его вероятности (P* → P). Результат каждого отдельного испытания можно описать

случайной переменной (дискретной случайной величиной) если событие наступило; в противном случае.

Тогда число испытаний, в которых событие наступило, будет равно

(12.6)

а частота определяется выражением

(12.7)

Проанализируем свойство частоты P* как оценки вероятности наступления случайного события.

1. Оценка P* — несмещенная, так как математическое ожидание M[P*] равно истинному значению вероятности:

(12.8)

2. Поскольку, согласно теореме Бернулли,

404

т. е. частота P* сходится по вероятности к вероятности P, то P* — состоятельная оценка.

. Дисперсия частоты P* определяется выражением

(12.9)

Поскольку при n → ` дисперсия D[P*] → `, то частота P* — асимптотически эффективная оценка вероятности. Доказано, что при любом n дисперсия частоты (12.9) минимально возможная и, следовательно, P*является вообще эффективной оценкой вероятности P.

Таким образом, частота наступления случайного события P*является эффективной оценкой вероятности.

12.4.2.Оцениваниематематическогоожиданияслучайнойвеличины

Необходимость оценивания математического ожидания по результатам испытаний появляется в задачах, когда результат эксперимента описывается случайной величиной и показателем качества исследуемого объекта принято математическое ожидание этой случайной величины. Например, в качестве показателя надежности может быть принято математическое ожидание времени безотказной работы какой-либо системы, а при оценивании эффективности удара по группе объектов поражения — математическое ожидание числа пораженных объектов и т. д.

Задача оценивания математического ожидания формулируется следующим образом. Предположим, что для определения неизвестного значения математического ожидания случайной величины X предполагается произвести n независимых и свободных от систематических ошибок измерений X1, X2, …, Xn. Требуется выбрать наилучшую оценку математического ожидания.

Наилучшей и наиболее распространенной на практике оценкой математического ожидания является среднее арифметическое результатов испытаний

405