Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

При интервальном оценивании решаются следующие основные задачи:

определение доверительного интервала при заданной доверительной вероятности и фиксированном числе испытаний;

определение доверительной вероятности при заданном доверительном интервале и фиксированном числе испытаний;

определение необходимого числа испытаний при заданных доверительной вероятности и доверительном интервале.

Решение указанных задач не вызывает затруднений, если

известен закон распределения случайной величины Рассмотрим методы решения задач интервального оценивания при определении вероятности наступления случайного события, математического ожидания и стандартного отклонения случайной величины, которые наиболее часто используются в качестве характеристик вооружения и показателей эф-

фективности боевых действий.

Иногда в силу ограниченности априорных сведений об исследуемом процессе либо из-за сложности вероятностных расчетов установить закон распределения не удается. В этом случае вначале приходится выдвигать соответствующие гипотезы относительно закона распределения оценки и проводить их проверку.

12.5.2.Оцениваниевероятностинаступленияслучайногособытия

Как было показано в п. 12.4.1, частота P*, полученная по результатам n реализаций в соответствии с формулой (12.7), является эффективной оценкой вероятности P. В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей (теоремы Ляпунова) при большом n распределение частоты P* описывается нормальным законом распределения с плотностью вероятности

(12.22)

416

При этом математическое ожидание и стандартное отклонение частоты определяются выражениями:

(12.2 )

Рассмотрим случайную величину

(12.24)

Поскольку случайная величина Y связана с частотой P* линейной зависимостью, то она также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице, т. е. Y [ N(0,1). Поэтому при любом уровне вероятности справедливо соотношение

(12.25)

где — аргумент табличной функции Лапласа, при ко-

тором FT(y ) = . Неравенство

равносильно неравенству

или неравенству

Отсюда вытекает, что интервал

(12.26)

накрывает неизвестное значение P с вероятностью .

Таким образом, для определения доверительного интервала при заданной доверительной вероятности и фиксированном n необходимо:

417

по результатам n испытаний по формуле (12.7) получить значение частоты P*;

рассчитать значение стандартного отклонения

по доверительной вероятности из таблицы функции Лапласа (табл. 2 приложения) найти значение y ;

рассчитать границы доверительного интервала по фор-

муле (12.26).

Рис. 12.8. Зависимость границ доверительного интервала для вероятности случайного события от значения частоты

На рис. 12.8 представлены зависимости границ доверительного интервала и от значения оценки P* при фиксированных значениях и n. Поскольку при вычислении оценки стандартного отклонения по формуле (12.2 ) вместо неизвестного значения вероятности P подставляют ее оценку P*, полученную по результатам n испытаний, то оказывается случайным не только центр доверительного интервала, но и его длина.

418

Определение доверительной вероятности при заданном доверительном интервале gи фиксированном числе испытаний n производится в такой последовательности:

рассчитать значения оценок вероятности P* и стандартного отклонения ;

вычислить значение аргумента табличной функции Лапласа

(12.27)

по значению y из таблицы функции Лапласа найти вероятность .

Если требуемые точность g и достоверность оценивания вероятности P заданы, то необходимое для их обеспечения число испытаний nтр находится из уравнения (12.27):

(12.28)

где y находится из таблицы функции Лапласа по известной доверительной вероятности .

Из соотношения (12.28) видно, что при фиксированном значении необходимое число испытаний обратно пропорционально квадрату допустимой абсолютной погрешности g. Поэтому для определения вероятности P по частоте P* с достаточной точностью и достоверностью требуется большое число испытаний. В табл. 12.7 приведены необходимые значения числа испытаний nтр, обеспечивающие с доверительной вероятностью требуемую точность g оценивания различных значений вероятности P.

Из таблицы видно, что необходимое число испытаний растет не только с увеличением требуемой точности, но и с приближением истинного значения оцениваемой вероятности P к вероятности, равной 0,5. Это обусловлено тем, что дисперсия оценки P* достигает максимального значения, равного 0,25/n, именно при P = 0,5.

Поскольку в выражение (12.28) входит неизвестное значение вероятности P, то определение необходимого числа ис-

419

Таблица 12.7

требуемое число испытаний для оценивания вероятности с заданной точностью

пытаний nтр производят приближенно. Один из способов такого приближения состоит в оценке верхней границы необходимого числа испытаний на основе неравенства

которое получается с учетом того, что max{P(1 ] P)} = 0,25. Другой способ заключается в реализации соотношения

(12.28) путем последовательного уточнения частоты P* и n, начиная с некоторого ориентировочного значения числа испытаний n0. После проведения n0 испытаний это значение уточняют, заменяя в формуле (12.28) вероятность P полученным значением частоты P*. Если при этом окажется, что новое значение n1 не превышает n0, решение задачи заканчивается. Если же n1 > n0, то производят еще (n1 ] n0) испытаний, по результатам которых уточняют значение частоты, а по нему — значение необходимого числа испытаний. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет обеспечена заданная точность определения вероятности P.

12.5.3.Оцениваниематематическогоожидания

При оценивании математического ожидания следует различать случаи большой (n > 0) и малой (n # 0)

420