Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Z = X + Y.

Применяя формулу (10.5 ) для композиции двух распределений, получим

Учитывая то, что плотность распределения f (y) равна нулю в пределах от 2` до a и от b до +`, плотность распределения f (z) примет вид:

(10.54)

Формально подынтегральная функция есть нормальная плотность распределения с математическим ожиданием z 2 mx и стандартным отклонением sx, а интеграл представляет собой вероятность попадания случайной величины Z на интервал (a, b). Используя, например, табличную функцию Лапласа, выражение для этой вероятности запишем в виде

Тогда плотность распределения f (z) примет вид:

(10.55)

Для удобства проведения анализа плотности (10.55) рас-

смотрим частный случай: mx = my = 0; b 2 a = 2l, т. е. a = 2l и b = +l. Тогда формула (10.55) примет вид

Если обозначить и , то

(10.56)

67

При фиксированных значениях l0 с использованием таблицы функции Лапласа можно построить графики плотности f (z0). При l0 = 0, 1, 2, такие графики приведены на рис. 10. .

Из графиков видно, что чем больше l0, тем сильнее плотность композиции нормального и равномерного распределений отличается от нормального. Для наглядности на рис. 10. штриховой линией показана плотность нормального распределения

(при l0 = 0).

При сравнительно небольших l0 кривые плотности f (z0) имеют вид кривых нормального распределения, при больших значениях l0 кривые композиции становятся плосковершинными.

Поскольку ,а , то . Отсюда видно, что

вид плотности композиции нормального и равномерного распределений целиком и полностью определяется соотношением характеристик рассеивания этих распределений.

При решении практических задач композицию нормального и равномерного распределений приближенно заменяют нормальным распределением, оставляя неизменными параметры композиции

68

где

mz = mx + my;

Однако следует заметить, что это справедливо только при небольших значениях l0. Погрешность от такой замены возрас-

10.7.2.Композициянормальныхраспределений

Часто при решении практических задач приходится находить композицию нормальных распределений (при исследовании точности стрельбы, точности приборов и т. п.).

Предположим, случайные величины X и Y независимы и распределены по нормальному закону с плотностями

и

Необходимо найти плотность распределения случайной величины

Z = X + Y.

Применяя общее выражение композиции двух распределений, получим

Если произвести преобразование в показателе степени подынтегрального выражения и замену переменной, то интеграл

69

сводится к табличному. Окончательное выражение композиции двух нормальных распределений получается в виде

(10.57)

где mz = mx + my.

Подробный вывод выражения плотности распределения f (z) можно найти в [5].

Таким образом, при композиции двух нормальных распределений получается снова нормальное распределение с математическим ожиданием mz = mx + my и стан-

Правила композиции двух нормальных распределений могут быть обобщены на случай произвольного числа независимых нормально распределенных случайных величин.

Предположим, что случайная величина

гдеX1, X2, …, Xn —независимыенормальнораспределенныеслу- чайныевеличинысматематическимиожиданиями

исредними квадратическими отклонениями .

Вэтом случае Z также будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием

и средним квадратическим отклонением

Если величины Xi распределены по нормальному закону, но зависимы, то можно показать, что их сумма будет распределена также нормально с математическим ожиданием

70