Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

и стандартным отклонением

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Случайная величина X имеет функцию вероятности

Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = 2X.

2. Случайные величины X и Y связаны соотношением Y = 2 2 X. Определить:

а) математическое ожидание и дисперсию величины Y;

б) момент связи и коэффициент корреляции случайных величин X и Y, если mx = 21, Dx = 4.

.Производитсяпараллельноесоединениедвухрезисторов номинальным сопротивлением 900 Ом. Максимальное отклонение сопротивления резистора от номинала 1%. Определить номинальное сопротивление такого соединения и его среднее квадратическое отклонение.

4. Найти математическое ожидание и дисперсию величины

U = X 2 2Y + 4Z 2 5, если

mx = 4; my = 2; mz = 1; Dx = 4; Dy = 1; Dz = 9; rxy = 0,5; rxz = 1; ryz = 0,5.

5. Определить характеристики силы тока в цепи, если напряжение и сопротивление независимые случайные величины с характеристиками:

mu = 220 В; su = 5 В; mr = 100 Ом; sr = Ом.

6. Определить характеристики мощности W = I2R, выделяемой на резисторе, подключенном к источнику тока, если ток

71

и сопротивление независимые случайны величины с характеристиками:

mi = 5 А; mr = 1000 Ом; si = 0,1 А; sr = 10 Ом.

7. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины

если mx = 10; my = 5; sx = 0,01 sy = 0,01; rxy = 0.

вопросыдлясамопроверки

1.Что называется функцией случайных аргументов? Приведите примеры функций случайных аргументов.

2.Какие задачи решаются с использованием аппарата функций случайных аргументов?

. Почему математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной?

4.Докажите, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

5.Почему дисперсия постоянной величины равна нулю?

6.Чему равна дисперсия суммы случайной и постоянной величин?

7.Какую случайную величину называют центрированнонормированной? Определите ее параметры.

8.Опишите постановку задачи определения числовых характеристик функций случайных аргументов.

9.Чему равны математическое ожидание и дисперсия линейной функции случайных аргументов?

10.В чем состоит сущность метода линеаризации при определении числовых характеристик функции случайных аргументов?

11.В чем заключается основное отличие неоднозначного преобразования случайных величин от однозначного?

12.Как изменяется закон распределения случайной величины при ее нелинейном преобразовании?

72

1 . С какой целью вводится в рассмотрение случайная ве-

личина Z1?

14. Чему равен якобиан преобразования?

15. Поясните формулу свертки или композиции двух распределений.

16. Что называется композицией распределений?

17. Чем определяется вид плотности распределения композиции нормального и равномерного распределения?

18. Какое распределение и с какими параметрами получается при композиции нормальных распределений?

7

11.статистическиеМетОдыОценивания характеристикПрОдукции

11.1.Общаяхарактеристикастатистическихметодов оцениванияхарактеристикпродукцииирезультатов ееприменения

Качество образцов продукции зависит от большого числа случайных факторов. При оценивании качества продукции случайные факторы учитывают с помощью их вероятностных характеристик (закона распределения либо числовых характеристик). Например, в качестве характеристик надежности принимают математическое ожидание времени (среднее время) безотказной работы, вероятность безотказной работы в течение времени T и др.

Вероятностные характеристики случайных факторов можно находить теоретическим путем с помощью математического аппарата теории вероятностей. Для применения этого аппарата необходимо знать зависимости, связывающие случайные переменные, вероятностные характеристики которых необходимо найти, с переменными, вероятностные характеристики которых известны. Например, система состоит из n блоков (рис. 11.1). Известны средние времена безотказной работы каждого блока . Требуется определить среднее время безотказной работы системы.

В предположении, что переключающие устройства срабатывают мгновенно и безотказно, время безотказной работы системы будет равно

где Ti — время безотказной работы i-го блока.

Используя метод определения числовых характеристик функции случайных аргументов, можно найти среднее время безотказной работы системы

74

1

2

………

n

Рис. 11.1

Не вызывает существенных затруднений решение задачи по определению закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения времени безотказной работы блоков и зависимости (11.1).

Однако в некоторых случаях установить зависимость между случайными переменными либо вообще не удается, либо она оказывается настолько сложной, что применение аппарата теории вероятностей для решения подобных задач является затруднительным. Нельзя, например, чисто теоретическим путем установить продолжительность безотказной работы транзистора, микросхемы того или иного типа.

В этих случаях вероятностные характеристики находят экспериментальнымпутем,сутькоторогосостоитвследующем. Многократно проводятся наблюдения исследуемого явления. Затем результаты наблюдений обрабатывают специальными математическими методами, которые позволяют приближенно определять искомые характеристики. Разработка таких методов составляет предмет математической статистики.

Математическая статистика — это прикладная наука, занимающаяся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений (испытаний) с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Наблюдения, осуществляемые в процессе эксперимента, могут заключаться в измерении какого-либо параметра исследуемого объекта либо в регистрации у него того или иного признака. В общем случае измеряемых параметров или регистрируемых признаков может быть несколько.

75