Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Эксперименты могут проводиться с реальным объектом либо с его моделью, адекватно описывающей процесс функционирования этого объекта.

Задачей проведения многих наблюдений является принятие решения относительно значений некоторых параметров (величин), характеризующих изучаемое явление или процесс. Если в процессе наблюдения непосредственно измеряется интересующий нас параметр, то говорят, что имеют место прямые измерения. Иногда интересующий нас параметр непосредственно измерить нельзя. В этом случае измеряется другая величина, с которой функционально связан интересующий нас параметр. Такие измерения называются косвенными.

После проведения наблюдений производят обработку их результатов. Смысл обработки результатов наблюдений заключается в получении сведений о свойствах изучаемого объекта. В наиболее общем виде можно говорить, что принимается определенное решение относительно этих свойств. Это решение может быть связано, например, с оцениванием конкретных значений характеристик (параметров), описывающих свойства объекта, проверкой предположений о нахождении этих характеристик в некоторых пределах, предположений о законах распределения наблюдаемых переменных и т. д.

Методы математической статистики используются при решении достаточно широкого круга задач. К числу таких наиболее часто встречающихся задач относятся [1, 12, 1 ]:

определение по результатам одинаковых независимых экспериментов частоты наступления случайного события и оценка на этой основе его вероятности;

оценивание по результатам одинаковых независимых экспериментов законов распределения и основных числовых характеристик случайных величин (математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения). Иногда оценивают и другие моменты распределения случайной величины. При наблюдении за системой двух случайных величин одновременно оценивают ковариацию (момент связи между ними) или коэффициент корреляции;

76

определение неизвестных значений постоянных величин, неизвестных значений коэффициентов функций неслучайных аргументов при заданном виде этих функций;

статистическая проверка гипотез о законах распределения или числовых характеристиках случайных величин;

оценка влияния множества факторов на конечный результат и выбор наиболее важных факторов, а также исследование внутренней структуры результатов наблюдений (проверка однородности результатов и независимости испытаний).

11.2.Общаясхемаэксперимента

Рассмотрим общую схему эксперимента, в рамках которой можно описать методы решения перечисленных выше задач математической статистики [5].

Объект, на котором проводятся испытания, принято называть объектом экспериментального исследования (ОЭИ). Это может быть реальный объект, лабораторная установка, модель реального экономического объекта и т. п. Эксперимент заключается в наблюдении исследуемого явления в конкретных условиях. Учесть все условия при проведении эксперимента практически невозможно. Поэтому исследователь выбирает основные наиболее существенные факторы, определяющие исход эксперимента. Здесь под фактором будем понимать переменную, значения которой исследователь с той или иной степенью точности может контролировать в ходе эксперимента.

В качестве входных переменных на вход ОЭИ действует k контролируемых переменных (факторов) x1, x2, …, xk (рис. 11.2). Исследовательимеетвозможностьпроводитьэкспериментыпри определенных фиксированных значениях входных переменных. Совокупность значений переменных, при которых проводятся испытания, составляет комплекс условий эксперимента.

На выходе ОЭИ в каждом испытании при фиксированных значениях входных переменных измеряется значение выходной переменной Y. В общем случае выходных переменных может быть несколько: Y1, Y2, …, Yl.

77

Если значения переменной Y в каждом эксперименте при реализации одного и того же комплекса условий (при одних и тех же значениях x1, x2, …, xk) не меняются, то говорят, что эксперимент обладает идеальной воспроизводимостью. В этом случае в качестве математической модели эксперимента используют различные функциональные зависимости:

Y = (x1, x2, …, xk).

Кроме входных переменных, на ОЭИ воздействует группа неконтролируемых факторов (вектор помех V), действие которых носит случайный характер. К неконтролируемым факторам относятся факторы, которые невозможно учесть и проконтролировать в ходе эксперимента (ошибки установки значений входных переменных, ошибки измерения выходной переменной и т. п.). В силу этого выходная переменная Y в каждом эксперименте при реализации одного и того же комплекса условий будет принимать различные значения, т. е. будет носить случайный характер. Модель эксперимента в данном случае будет иметь вид:

Y = (x1, x2, …, xk) + (x1, x2, …, xk)

где (x1, x2, …, xk) — регулярная составляющая, которую в статистике называют функцией отклика;

78

(x1, x2, …, xk) — случайная ошибка результата наблюдения (эксперимента).

В общем случае распределение ошибки эксперимента зависит от комплекса условий. Считают, что ошибка эксперимента распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю (M[ (x1, x2, …, xk)] = 0 Поэтому

M[Y] = (x1, x2, …, xk)

Зависимость математического ожидания выходной переменной Y от входных переменных (x1, x2, …, xk) называется уравнением регрессии.

На выходе ОЭИ наряду с основной выходной переменной Y часто приходится контролировать группу неосновных выходных переменных V1, V2, …, Vk. На неосновные выходные переменные обычно налагаются ограничения.

K-мерное пространство, координатами которого являются контролируемые переменные, называется факторным пространством. Система ограничений на неосновные выходные переменные выделяет в факторном пространстве область эксперимента G.

Различают активные и пассивные эксперименты. Эксперимент будет активным, если имеется возможность не только контролировать входные переменные, но и управлять ими. В пассивном эксперименте исследователь не имеет возможности устанавливать значения входных переменных по своему усмотрению, т. е. управлять входными переменными.

11.3.сущностьвыборочногометода

Особенностью методов математической статистики является то, что выводы и заключения, полученные на основе этих методов, относятся не к отдельным испытаниям, которые были произведены, а представляют собой утверждения о вероятностных характеристиках исследуемого явления в целом [1, 12, 1 ]. Поэтому результат наблюдения в отдельном испытании следует рассматривать как один из возможных исходов, кото-

79

рые могли бы иметь место при многократном проведении испытания в одних и тех же условиях.

Совокупность всех мыслимых результатов наблюдений, которые могут быть получены в данных условиях, называют генеральной совокупностью. Различают конечные и бесконечные генеральные совокупности. Генеральная совокупность конечна, если содержит конечное число элементов. Бесконечная генеральная совокупность содержит бесконечное число элементов.

Например, производится сплошной контроль качества партии готовой продукции, содержащей N изделий. Испытание здесь заключается в извлечении одного изделия из партии и проверке его годности. Множество всех изделий образует генеральную совокупность, поскольку исход испытания состоит в появлении любого из N изделий (годного либо дефектного). В данном примере генеральная совокупность — конечная.

Если же предметом исследования является технологический процесс изготовления данного вида продукции, то генеральной совокупностью следует считать воображаемое бесконечное число изделий, которые могут быть изготовлены при данной технологии производства. Совокупность всех возможных отклонений точки падения снаряда от точки прицеливания при фиксированных условиях стрельбы также является примером бесконечной генеральной совокупности.

Задача обследования партии готовой продукции может состоять в оценке доли бракованных изделий или, что то же самое, в оценке вероятности извлечения бракованного изделия. Она может быть решена следующим образом. Провести обследование каждого изделия в партии и подсчитать число бракованных. Затем, используя классический способ определения вероятности, находят вероятность извлечения бракованного изделия (долю бракованных изделий в партии).

При сплошном контроле не возникает каких-либо трудностей при формировании статистического вывода.

На практике не всегда имеется возможность провести обследование всех элементов генеральной совокупности. Это обусловлено тем, что число элементов генеральной совокуп-

80