Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

(11.4)

Из равенства (11.4) следует, что при достаточно больших n существенные отклонения по абсолютной величине среднего арифметического результатов измерений от математического ожидания маловероятны. Данное утверждение является основанием того, что в качестве неизвестного значения математического ожидания mx может быть принято среднее арифметическое результатов большого числа измерений случайной величины X.

Следует отметить, что теорема Чебышева справедлива и для среднего арифметического различных функций от результатов наблюдений скалярной случайной величины w(xi), или системы случайных величин c(Xi, Yi, Zi…), . При этом должно выполняться условие: аргументы Xi или одноименные элементы систем аргументов {Xi, Yi, Zi} имеют один и тот же закон распределения, включая и параметры.

Например, w(xi) = (Xi ] mx)2. С учетом того, что

M[w(xi)] = M[(Xi ] mx)2],

в соответствии с равенством (11.4), можем записать:

(11.5)

Предположим, что функция от результатов наблюдений системы двух случайных величин имеет вид

c(Xi, Yi) = (Xi ] mx) (Yi ] my).

Математическое ожидание этой функции — момент связи результатов наблюдений двух случайных величин X и Y

M = [(Xi ] mx) (Yi ] my)] = Kxy.

Поэтому, в соответствии с равенством (11.4), можем записать:

(11.6)

87

Из равенств (11.5) и (11.6) следует, что при достаточно большом n в качестве неизвестных значений дисперсии Dx случайной величины X момента связи Kxy двух случайных величин X и Y могут быть приняты средние арифметические вида

и

соответственно.

ТеоремаБернулли

Данная теорема доказывает устойчивость частоты случайного события, что позволяет применять на практике статистический способ определения вероятности наступления события.

При неограниченном увеличении числа независимых испытаний n в одних и тех же условиях частота P*(A) наступления случайного события A сходится по вероятности к его вероятности P, т. е.

(11.7)

где ni — число наступлений события в n испытаниях;— сколь угодно малая положительная величина.

В соответствии с теоремой Бернулли при большом числе испытаний частоту наступления случайного события можно принять в качестве его вероятности.

Если вероятность наступления случайного события в каж-

т.е.частотасобытиясходитсяповероятностиксреднемуарифметическому значению вероятностей события в каждом испытании.

ЦентральнаяпредельнаятеоремаЛяпунова

Однойиззадачприпримененииметодовобработкирезультатов испытаний является выявление условий, определяющих

88

справедливость априорных предположений о виде закона распределения исследуемой случайной величины.

Часто при обработке результатов испытаний принимается предположение о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины. Однако не всегда можно применить нормальный закон распределения. Поэтому необходимо определить условия, когда можно выдвигать предположение о нормальном распределении и в каких случаях от него следует отказаться. Условия, при которых возникает нормальный закон распределения, определяют предельные теоремы теории вероятностей. Одной из основных среди этих теорем является центральная предельная теорема Ляпунова [5]. Сущность данной теоремы сводится к следующему.

Закон распределения суммы независимых случайных величин при неограниченном увеличении числа слагаемых приближается к нормальному, если случайные величины, входящие в сумму, имеют дисперсии примерно одного и того же порядка и конечные математические ожидания. Требования равенства дисперсий означает, что влияние каждого слагаемого на сумму одинаково.

Таким образом, если

и случайные величины X1, X2, …, Xn удовлетворяют указанным требованиям, то при достаточно большом n

где

и

На практике теорему Ляпунова применяют и в случае, когда n сравнительно невелико. При n $ 8 эту теорему можно применять при суммировании непрерывных случайных величин, имеющих одинаковые симметричные законы распределения с

89

одинаковыми числовыми характеристиками. Если же суммируются случайные величины с различными несимметричными законами и различными числовыми характеристиками, то теоремой Ляпунова можно пользоваться только при числе слагаемых порядка сотни [5,15].

вопросыдлясамопроверки

1.Что вынуждает отказаться от методов теории вероятностей и перейти к методам математической статистики?

2.Какие задачи решаются методами математической статистики?

. Что составляет комплекс условий эксперимента?

4.Какие требования предъявляются к ошибке эксперимента?

5.Какое уравнение называют уравнением регрессии?

6.Что называется факторным пространством?

7.В чем отличие активного эксперимента от пассивного?

8.В чем заключается особенность методов математической статистики?

9.Что называется генеральной совокупностью? Какие они бывают?

10.Что называется выборкой из генеральной совокупности? Какие требования к ней предъявляются и чем они обеспечиваются?

11.Что понимается под законом больших чисел?

12.В чем заключается смысл термина «сходимость по вероятности»?

1 . Что доказывает неравенство Чебышева?

14.Что доказывают теорема Чебышева и теорема Бер-

нулли?

15.В чем суть центральной предельной теоремы Ляпу-

нова?

90