Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

D[X + C] = Dx,

т. е. при добавлении к случайной величине любой постоянной ее дисперсия не изменяется.

6. Используя вторую теорему о математических ожиданиях и вторую теорему о дисперсиях применительно к так называемой центрированно-нормированной случайной величине

(10.14)

получим

Таким образом, математическое ожидание любой центри- рованно-нормированной случайной величины равно нулю, а ее дисперсия (стандартное отклонение) — единице.

Отметим, что замена переменной интегрирования (см. 9.5 ), использованная при рассмотрении табличной функции нормального распределения (9.52), равносильна преобразованию случайной величины X в соответствующую ей центрированнонормированную случайную величину (10.14), т. е. линейному преобразованию.

Поскольку выражение (9.52) представляет функцию нормального распределения с параметрами mx = 0 и sx = 1, получается, что при нормальном распределении случайной величины ее линейное преобразование изменяет только значения параметров mx = 0 и sx = 1, а не вид самого распределения. Сделанный вывод оказывается справедливым для любых распределений случайных величин и может быть обобщен следующей формулировкой: при линейном преобразовании случайной величины вид ее распределения не изменяется.

51

10.3.Определениечисловыххарактеристикфункций случайныхаргументов

Рассмотрим задачу определения числовых характеристик функций случайных аргументов в следующей постановке. Случайная величина Z является функцией системы случайных аргументов X1, X2, …, Xn. Вид функции Z = w(X1, X2, …, Xn) и ее параметры известны, а числовые характеристики системы случайных величин {X1, X2, …, Xn} заданы совокупностью значений математических ожиданий и корреляцион-

Требуется найти числовые характеристики mz и Dz случайной величины Z.

Линейнаяфункция

Если функция Z = w(X1, X2, …, Xn) линейна относительно своих аргументов, так что

(10.15)

то решение задачи получается в результате непосредственного применения теорем о числовых характеристиках.

Так, используя первые три теоремы о математических ожиданиях, из выражения (10.15) получаем

(10.16)

т. е. математическое ожидание линейной функции случайных аргументов представляется такой же функцией их математических ожиданий.

Дисперсия линейной функции вида (10.15) определяется формулой

(10.17)

которая может быть получена из выражения (10.15) в результате применения теорем о дисперсиях с учетом того, что мо-

52

мент связи случайных величин (10.12) определяется равенс-

твом (10.1 ).

Если все аргументы линейной функции вида (10.15) независимы (или хотя бы некоррелированы), то из формулы (10.17) следует, что

(10.18)

Нелинейнаяфункция.Методлинеаризации

Применительно к функции Z = w(X1, X2, …, Xn), нелинейной относительно системы своих аргументов, решение задачи в сформулированной выше постановке может быть получено, как правило, лишь приближенно на основе метода линеаризации. Сущность метода линеаризации заключается в том, что нелинейную функцию заменяют некоторой линейной и затем по уже известным правилам находят числовые характеристики этой линейной функции, считая их приближенно равными числовым характеристикам нелинейной функции.

Сущность этого метода рассмотрим на примере функции одного случайного аргумента.

Если случайная величина Z является заданной функцией

случайного аргумента X, то ее возможные значения z связаны с возможными значениями аргумента x функцией того же вида, т. е.

(например, если Z = sin X, то z = sin x).

Разложим функцию (10.20) в ряд Тейлора в окрестности точки x = mx, ограничиваясь только первыми двумя членами разложения, и будем считать, что

где w(mx) — значение функции (10.20) при x = mx;

5

— значение производной функции (10.20) по аргу-

менту x при x = mx.

Такое допущение равносильно замене заданной функции (10.19) линейной функцией

На основе теорем о математических ожиданиях и дисперсиях получим расчетные формулы для определения числовых характеристик mz и Dz в виде:

Заметим, что в рассматриваемом случае стандартное отклонение sz следует вычислять по формуле

(10.2 )

(Модуль производной здесь берется потому, что

она может быть и отрицательной.)

Применение метода линеаризации для нахождения числовых характеристик нелинейной функции

произвольного числа случайных аргументов приводит к расчетным формулам для определения ее математического ожидания, имеющим вид

(10.25)

(10.26)

54