Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Таким образом, при отсутствии корреляции между нормально распределенными случайными величинами они оказываются независимыми.

Если компоненты X и Y двумерного вектора независимы и дисперсии (стандартные отклонения) одинаковы, т. е. sx = sy = s, то нормальный закон распределения называют круговым. В этом случае плотность нормального закона распределения имеет вид

(9.112)

В приложениях [5] часто встречаются задачи, сводящиеся к вычислению вероятности попадания нормально распределенной случайной точки {X, Y} в прямоугольник (квадрат) или круг.

Вероятность попадания в прямоугольник (квадрат) вычисляется наиболее просто, если его стороны параллельны осям

Вероятность попадания в круг, центр которого совпадает с центром кругового нормального распределения, вычисляется

41

аналитически. Для этого частного случая расчетная формула может быть получена следующим образом. Подставив (9.112) в (9.8 ), получим

Перейдя от прямоугольных координат к полярным координатам r и w, т. е.

полагая x = rcos w, x = rsin w и учитывая, что sin2w + cos2w = 1 получим:

(9.114)

Формула (9.114) определяет вероятность попадания нормально распределенной случайной точки в круг радиуса R, центр которого совмещен с центром кругового нормального распределения.

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Плотность распределения случайной величины Х задана выражением

при при

42

Найти а) коэффициент A и функцию распределения; б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. Монету подбрасывают 4 раза. Найти выражение для функции распределения числа выпадений герба. Определить математическое ожидание и дисперсию числа выпадений герба.

. При работе радиотехнического устройства время от времени возникают сбои. Число сбоев за сутки подчиняется закону Пуассона с параметром m = 1,5. Определить вероятности того, что:

а) за двое суток не будет ни одного сбоя; б) в течение суток будет хотя бы один сбой;

в) за неделю произойдет не менее трех сбоев.

4.Интенсивность отказов радиотехнического устройства равна 0,001 1/ч. Определить вероятность того, что устройство проработает более 500 ч.

5.Из скольких параллельно соединенных элементов должен быть собран блок, чтобы вероятность его безотказной работы в течение 100 ч была не менее 0,9, если время работы каждого элемента имеет показательное распределение с математическим ожиданием равным 200 ч?

6.Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (2–8). Записать выражения для плотности и функции распределения. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

7.Измерение дальности до объекта сопровождается систематической и случайной ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону уменьшения дальности. Случайная ошибка подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 100 м. Определить:

а) вероятность измерения дальности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 150 м;

б) вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинную.

8.Диаметр валиков, изготавливаемых на станке, распределен по нормальному закону с математическим ожиданием

4

50 мм и средним квадратическим отклонением 0, мм. Найти процент годных валиков, если бракуются валики, диаметр которых меньше 49,7 мм и больше 50,6 мм.

вопросыдлясамопроверки

1.Случайны величины (СВ) и их классификация

2.Что такое распределение случайной величины?. Что такое функция вероятности СВ?

4.Что такое функция распределения?

5.Как построить график функции распределения диск-

ретной СВ?

6.Каковы свойства функции распределения?

7.Что такое плотность распределения?

8.Каковы свойства плотности распределения?

9.Назовите характеристики положения СВ?

10.Назовите характеристики рассеивания СВ?

11.Каковы свойства математического ожидания СВ?

12.Каковы свойства дисперсии СВ?

1 . Что такое моменты СВ?

14.Каковы основные распределения СВ?

15.Приведите примеры случайных величин, имеющих теоретические распределения.

16.Какими параметрами определяется биномиальное распределение?

17.При каких условиях осуществляется переход от биномиального распределения к распределению Пуассона?

18.Какими параметрами определяется равномерное распределение? Как по ним рассчитываются его числовые характеристики?

19.Укажите одно из важнейших свойств показательного (экспоненциального) распределения. Каков физический смысл параметра распределения и как определяются его числовые характеристики?

20.Какими параметрами определяется нормальное распределение? Поясните их физический смысл.

44

21.Перечислите характеристики рассеивания и укажите связь между ними.

22.Как определяется вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал

спомощью табличной функции нормального распределения и табличной функции Лапласа?

2 . Поясните связь между распределением Релея и нормальным распределением. Как их параметры связаны между собой?

24.В какой области находит широкое применение гаммараспределение? Какие распределения являются частными случаями гамма-распределения?

25.Где используется распределение Стьюдента? При каких условиях оно совпадает с нормальным распределением?

26.Что означает распределение случайного вектора?

27.Назовите числовые характеристики векторных СВ.

28.Поясните смысл понятия корреляция.

45