Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Поэтому в соответствии с соотношением (9.87) можно записать

и

Таким образом, обе компоненты случайного вектора {X, Y} имеют одинаковые (по виду) частные распределения. Графики их плотностей

при | x | # R,

9.6.2.Условныераспределения.Стохастическаязависимость случайныхвеличин

Распределение одной или нескольких входящих в систему случайных величин, найденное при условии, что другие вхо-

1

дящие в систему случайные величины приняли определенные значения, называют условным распределением.

Условные распределения могут быть получены, если распределение случайного вектора (системы случайных величин) известно.

Если компоненты вектора {X, Y} являются дискретными случайными величинами, то их условные распределения описываются вероятностями

P(xi/yj) = P(X = xi/Y = yj)

для всех i = 1, 2, …, n, при каждом j = 1, 2, …, m,

P(yj/xi) = P(Y = yj/X = xi)

для всех j = 1, 2, …, m, при каждом i = 1, 2, …, n.

Исходы испытания, заключающиеся в том, что X = xi и Y = yj, являются случайными событиями. Распределение случайного вектора {X, Y} задано вероятностями p(xiyj) = P(X = xi, Y = yj). Поэтому, используя правило умножения вероятностей, можно записать

(9.91)

для всех i = 1, 2, …, n при каждом j = 1, 2, …, m,

для всех j = 1, 2, …, m при каждом i = 1, 2, …, n,

где p(xi), p(yj) — вероятности, представляющие частные распределения компонент X и Y.

Из соотношений (9.91) следует, что сумма вероятностей, представляющих то или иное условное распределение дискретных компонент случайного вектора, равна единице

и

Для случайного вектора {X, Y} с непрерывными компонентами условные распределения обычно задают соответствую-

2

щими плотностями f (x/yj) и f (y/xi). Формулы для их определения могут быть получены заменой в левых и правых частях выражений (9.91) вероятностей p(xi/yj), p(yj/xi), p(xi, yj), p(xi), p(yj) соответствующими элементами вероятностей, т. е. представлением в виде

откуда следует, что

(9.92)

Плотности условных распределений компонент случайного вектора обладают теми же свойствами, что и плотности безусловных (частных) распределений.

Функции условных распределений непрерывных компонент случайного вектора {X, Y} при необходимости могут быть получены на основе соотношения (9.12) непосредственно из выражений (9.92)

Для условных распределений, как и для безусловных, могут быть определены соответствующие числовые характеристики.

Пример 9.5. Найти плотности условных распределений компонент случайного вектора {X, Y} при исходных данных примера 9.4.

Решение

В условиях данного примера плотность f (x, y) случайного вектора {X, Y} задана соотношениями (9.88), а плотности f (x) и

f (y) частных распределений его компонент — соотношениями (9.89) и (9.90). Поэтому непосредственно по формулам (9.92) получаем

т. е., любое из условных распределений каждой компоненты рассматриваемого случайного вектора является равномерным типа (9.48). При этом длина интервала распределения компоненты X(Y) определяется фиксированным значением компоненты Y(X), играющим роль условия. Окончательно плотности условных распределений запишутся в виде

при

(9.9 )

при

при

(9.94)

при

Графики условных плотностей (9.9 ) при различных значениях y вместе с графиком соответствующей частной плотности (9.89) представлены на рис. 9. 7.

4

Из рисунка видно, что условное распределение f (x/y) зависит от того, какие значения принимает Y, причем оно не совпадает с частным распределением f (x). Аналогичные выводы справедливы и для условного распределения f (y/x) компоненты Y.

Полученный результат позволяет заключить, что случайные величины X и Y, составляющие систему {X, Y}, могут быть связаны особого типа зависимостью, которая проявляется в том, что одна из них «реагирует» на изменение другой изменением своего распределения. Такую зависимость называют стохастической. При стохастической зависимости можно указать, какое распределение будет иметь одна из случайных величин при известном значении другой. Наличие стохастической зависимости между случайными величинами устанавливается на основе анализа их условных распределений.

Случайная величина X стохастически не зависит от случайной величины Y, если при любом фиксированном значении Y = y ее условное распределение оказывается одинаковым и совпадает с частным распределением, т. е., если для дискретной случайной величины

при каждом y.

Невыполнение этих условий указывает на наличие стохастической зависимости случайной величины X от случайной величины Y. Стохастическая независимость, как и зависимость, всегда является взаимной (в дальнейшем слово «стохастическая» будем опускать).

Для независимых случайных величин справедливы равенства

если они дискретны, и

5