Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Если s— стандартное отклонение кругового рассеивания точек попадания относительно точки прицеливания, то и

при r # 0,

(9.67)

при r > 0.

Функция распределения F(r) случайной величины R, подчиняющейся закону Релея, определяется равенством

при r # 0,

(9.68)

при r > 0,

а основные числовые характеристики mr и Dr вычисляют по формулам:

(9.69)

(9.70)

Графики плотности и функции распределения изображе-

ны на рис. 9.29 и 9. 0.

гамма-распределение

Случайная величина X имеет гамма-распределение, если плотность распределения определяется выражением

21

при x # 0,

(9.71)

при x > 0,

где G( ) — гамма-функция;

и b — параметры распределения (b > 0).

В частном случае, если параметр принимает лишь целочисленные значения k = 0, 1, 2, …

G(k + 1) = kG(k) = k!

и выражение для плотности распределения при x > 0 может быть переписано в виде

(9.72)

Для гамма-распределения основные числовые характеристики — математическое ожидание и дисперсию — определяют по формулам:

Гамма-распределение находит широкое применение в теории надежности. Оно используется при исследовании надежности аппаратуры в период ее приработки и работы в форсированных режимах.

Если плотность гамма-распределения определяется выражением (9.72), то говорят, что случайная величина X имеет распределение Эрланга k-го порядка. Показательное распределение является распределением Эрланга нулевого порядка. Если в выражении (9.72) положить k = 0, получим (9.40).

Одним из частных случаев гамма-распределения является x2 (хи-квадрат)-распределение с k степенями свободы, для которого плотность распределения определяется выражением

при x # 0,

(9.74)

при x > 0.

22

Формула (9.74) следует из (9.71) при b = 2, , (k = 1, 2, , …).

Если случайная величина X подчиняется x2-распределе- нию, то из (9.7 ) следует, что mx = k, Dx = 2k.

x2-распределение широко используется при статистической обработке и анализе результатов испытаний образцов про-

дукции [1, 10, 14].

РаспределениеСтьюдента

Случайная величина X имеет распределение Стьюдента, если плотность распределения определяется выражением

(9.75)

где k — целочисленный параметр, называемый числом степеней свободы.

Данное распределение широко используется при обработке результатов испытаний образцов продукции.

При неограниченном увеличении k (k > 0) плотность распределения Стьюдента приближается к плотности нормального распределения, т. е. для распределения Стьюдента нормальное распределение является предельным.

9.5.распределениеслучайноговектора

Распределения векторных случайных величин представляются теми же основными формами, что и распределения скалярных. В дальнейшем ограничимся рассмотрением этих форм применительно лишь к двумерному случайному вектору (системе двух случайных величин).

Функция вероятности используется только для случайных векторов с дискретными компонентами и обычно задается таблицей, где указываются возможные значения xi и yi компонент X и Y случайного вектора {X, Y}, а также вероятности p(xi, yi) всех пар этих значений (табл. 9. ).

2

Очевидно, что при этом

Функцией распределения двумерного случайного вектора {X, Y} называется функция F(x, y) двух аргументов x и y, которая при каждой комбинации их значений задает вероятность совместного выполнения двух неравенств: X < x и Y < y, т. е.

(9.77)

24

Она представляется в трехмерном пространстве ступенчатой (для случайного вектора {X, Y} с дискретными компонентами) или гладкой поверхностью (для случайного вектора с непрерывными компонентами).

Основными свойствами функции распределения двумерного случайного вектора являются следующие:

1. 0 # F(x, y) # 1, поскольку функция F(x, y) представляется вероятностями.

2.

(9.78)

в чем нетрудно убедиться, обращаясь к рис. 9. 1.

. Функция распределения F(x, y) — неубывающая функция каждого из своих аргументов

F(x2, y) $ F(x1, y), если x2 > x1, F(x, y2) $ F(x, y1), если y2 > y1,

F(x2, y2) $ F(x1, y1), если x2 > x1 или y2 > y1,

yчто опять-таки следует из рис. 9. 1.

25