Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Графики плотности вероятности (9.40) и функции распределения (9.41) представлены на рис. 9.17 и 9.18 соответственно.

Показательное распределение имеет единственный параметр l, причем для этого распределения

Данное распределение достаточно хорошо описывает распределение времени безотказной работы весьма обширного класса элементов технических систем, в связи с чем широко применяется при оценке их надежности.

Показательное распределение обладает важным свойством. Если случайная величина X имеет показательное распределение, а событие X > x произошло, то случайная величина Y = X 2 x имеет также показательное распределение с тем же

Это свойство означает, что если показательное распределение имеет случайная величина T — время безотказной работы агрегата и агрегат уже проработал нормально какое-то количество часов, то это никак не влияет на закон распределения оставшегося времени безотказной работы агрегата. Иначе говоря, если среднее время безотказной работы агрегата mt = 1000 ч и агрегат уже проработал 500 ч, то среднее время последующей работы этого агрегата опять-таки равно 1000 ч.

11

Равномерноераспределение

Равномерным принято называть распределение непрерывной скалярной случайной величины X, если оно представляется плотностью

так что соответствующая функция распределения определяется соотношениями

Графики функций (9.42) и (9.4 ) представлены на рис. 9.19

и 9.20.

1,0

Концы a и b интервала равномерного распределения являются его параметрами и определяют значения числовых характеристик этого распределения, причем

(9.44)

12

При равномерном распределении случайной величины вероятность ее попадания в интервал от x1 до x2 принадлежащий интервалу [a, b], определяется формулой

(9.45)

которая может быть получена из соотношений (9.42) и (9.4 ). Таким образом, эта вероятность равна отношению длины рассматриваемого интервала к длине всего интервала распределения, т. е. не зависит от его положения внутри [a, b].

В инженерной практике используются некоторые частные случаиравномерногораспределения.Например,примоделировании случайных факторов на ЭВМ применяется равномерное распределение в интервале от 0 до 1, для которого (рис. 9.21)

при x > 1

и следовательно, в соответствии с формулами (9.44)

(9.47)

Другой частный случай равномерного распределения используется при оценке точности технических измерений. Как известно, ошибка округления отсчета по шкале любого измерительного прибора до ближайшего деления с ценой 2L является случайной, а все ее значения равновозможны и по абсолютной величине не превышают L. Следовательно, эта ошибка имеет равномерное распределение в интервале от a = 2L до b = +L

(рис. 9.22), т. е.

при | x | # L,

(9.48)

при | x | > L,

а из соотношений (9.44) следует, что ее числовые характеристики определяются равенствами

1

1,0

Нормальноераспределение

Нормальное распределение непрерывной скалярной случайной величины X определяется плотностью

(9.50)

где mx — математическое ожидание;

sx — среднее квадратическое (стандартное) отклонение этой случайной величины,

или функцией распределения

(9.51)

графики которых представлены на рис. 9.2 и 9.24.

14

Из соотношения (9.50) следует, что при нормальном распределении числовые характеристики mx и sx являются его параметрами и, следовательно, полностью определяют это распределение.

Нормальное распределение присуще очень широкому кругу случайных величин, встречающихся в инженерной практике. Это объясняется тем, что для обширного класса случайных факторов объективно выполняются условия, в которых формируется именно нормальное распределение соответствующих случайных величин. Суть этих условий состоит в следующем: если какая-либо случайная величина по своей природе является суммой случайных слагаемых с ограниченными дисперсиями и распределенных как угодно, то распределение этой случайной величины будет тем ближе к нормальному, чем больше таких слагаемых она представляет. (Строгое доказательство сходимости распределения суммы случайных величин к нормальному составляет содержание центральной предельной теоремы теории вероятностей, доказанной А. М. Ляпуновым [1].)

Известно, например, что рассеивание точек падения снаряда по дальности при стрельбе из артиллерийского орудия на постоянных установках прицельных устройств является следствием суммарного влияния большого числа случайных источников. Среди них можно указать фактическое положение ствола в момент выстрела, отклонения от номиналов начальной скорости снаряда, его веса и аэродинамических характеристик, а также отклонения реальных значений параметров атмосферы от стандартных. Каждый из этих источников, в свою очередь, может быть представлен суммой составляющих его случайных компонентов, играющих примерно одинаковую роль в формировании рассеивания конечного результата — точки падения снаряда. Поэтому его распределение считается практически нормальным.

Практически нормальным можно считать и распределение других непрерывных случайных величин, являющихся результатом суммарного влияния большого числа случайных источников.

15