Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

можно представить в виде

где — частота появления при N испытаниях возмож-

ного значения xi.

Сопоставляяполученноевыражениессоотношением(9.16), нетрудно видеть, что их правые части отличаются лишь тем, что в первом возможные значения умножаются на свои вероятности, а во втором — на частоты. Отсюда, принимая во внимание, что при неограниченном увеличении числа испытаний частота стабилизируется относительно вероятности, можно прийти к заключению о справедливости данного выше толкования смысла математического ожидания.

Математическому ожиданию можно дать следующую механическую интерпретацию. Для дискретной случайной величины оно в соответствии с равенством (9.16) представляет центр масс системы, состоящей из невесомого (или однородного) стержня, в точках с абсциссами xi которого сосредоточены массы p(xi). Для случайной величины непрерывного типа математическое ожидание, согласно соотношению (9.17), представляет абсциссу центра масс фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой f (x).

Пример 9.2. В условиях примера 9.1 найти математическое ожидание случайной величины X — числа попаданий в цель после трех независимых выстрелов с вероятностью попадания p = 0,5 при каждом из них.

Решение

Используя табл. 9.2, на основе оператора (9.16), получаем mx = 0·0,125 + 1·0, 75 + 2·0, 75 + ·0,125 = 1,5,

что соответствует механической интерпретации математического ожидания (распределение вероятностей на интервале от 0 до симметрично относительно точки x = 1,5).

Полученный результат означает, что при достаточно большом числе таких стрельб в среднем в каждой из них будет по-

01

лучено полтора попадания в цель. Подчеркнем, что дробное значение математического ожидания в данном случае вполне правомерно, поскольку это среднее значение.

Среди всех свойств математического ожидания, основные из которых будут рассмотрены ниже, выделим пока одно, состоящее в следующем. Если случайная величина Z является функцией случайной величины X, т. е. Z = w(x), а распределение аргумента X известно, то

(9.18)

при дискретном аргументе и

(9.19)

при непрерывном.

Действительно, пусть Z = w(X) = X2, а аргументом X является дискретная случайная величина с возможными значениями x1, x2, x , x4, вероятности которых соответственно равны p(x1), p(x2), p(x ), и p(x4) (одна из таких случайных величин рассматривается в примере 9.1). Тогда возможные значения zi случайной величины Z можно определить следующим образом:

При этом, очевидно, что каждое из них будет появляться так же часто, как и соответствующее возможное значение xi аргумента X. Следовательно, p(z1) = p(x1), p(z2) = p(x2), p(z ) = p(x ), p(z4) = p(x4) и, таким образом,

(9.20)

эквивалентно соотношению (9.18).

9.3.2.Характеристикирассеивания

Вкачестве числовых характеристик рассеивания используются: дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение. вероятностное (срединное) отклонение.

02

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.

(9.21)

Всоответствииссоотношениями(9.18)и(9.19)дисперсиядискретной случайной величины вычисляется с помощью оператора

(9.22)

а непрерывной — с помощью оператора

(9.2 )

Числовые значения дисперсий, получаемые на основе операторов (9.22) и (9.2 ), в дальнейшем будем обозначать симво-

лом Dx.

Пример 9.3. Найти дисперсию случайной величины в условиях примера 9.1.

Решение

Используя табл. 9.2 и принимая во внимание, что для этой случайной величины mx = 1,5, с помощью оператора (9.22) получаем

Dx = (0 2 1,5)2·0,125 + (1 2 1,5)2·0, 75 + + (2 2 1,5)2·0, 75 + ( 2 1,5)2·0,125 = 0,75.

Дисперсия является одной из важнейших характеристик распределения, поскольку отражает основную особенность случайной величины — рассеивание ее возможных значений, причем достаточно «чутко» реагирует на различные оттенки в характере этого рассеивания. Для иллюстрации сказанного ниже представлены (таблицами функции вероятности) распределения четырех дискретных случайных величин X1, X2, X , X4, имеющих одинаковые математические ожидания

, и приведены вычисленные значения

их дисперсий:

0

Анализ этих данных позволяет заключить, что при одинаковой длине интервала рассеивания большую дисперсию имеет та случайная величина, у которой крайние возможные значения более вероятны ( и ); при увеличении длины рассеивания дисперсия может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от того, как при этом распределяются вероятности возможных значений случайной величины

( и , но ).

При практическом использовании дисперсии известным неудобством является то, что ее размерность равна квадрату размерности соответствующей случайной величины. Поэтому в приложениях чаще применяется другая числовая характеристика рассеивания — среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Средним квадратическим отклонением (его принято обозначать символом sx) называется положительный квадратный корень из дисперсии, т. е.

(9.24)

Очевидно, что среднее квадратическое отклонение характеризует степень рассеивания возможных значений случайной величины не хуже дисперсии, а его размерность совпадает с размерностью соответствующей случайной величины.

Заметим, что поскольку дисперсию связывают со средним квадратическим отклонением — соотношение (9.24), ее обозначают иногда символом .

04

Вероятное(срединное)отклонениеиспользуетсявкачестве числовой характеристики рассеивания применительно только к непрерывным случайным величинам, плотность распределения которых симметрична относительно вертикали, проходящей через точку математического ожидания. Для обозначения этой характеристики используются символы Bx (русское «вэ» от слова «вероятное») или Ex.

Вероятным (срединным) отклонением называется половина интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который случайная величина попадает с вероятностью 0,5.

Иначе говоря, вероятное (срединное) отклонение определяется из условия

которое иллюстрируется рис. 9.15.

Возможность его использования в качестве характеристики рассеивания вытекает из того, что получаемая согласно условию (9.25) величина Bx однозначно определяется видом кривой f (x) и поэтому хорошо «отслеживается» степень рассеивания случайной величины (рис. 9.16).

По своему смыслу вероятное (срединное) отклонение является характеристикой, позволяющей судить о том, из какого

05