Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

4. как вероятность достоверного события (следо-

вательно, площадь под кривой f (x) любого вида равна единице).

296

Полезноотметить,чтоплотностьраспределенияскалярной случайной величины имеет размерность, обратную размерности самой случайной величины (это непосредственно вытекает из соотношения (9.10), определяющего понятие плотности).

Третье из рассмотренных свойств позволяет заключить, что вероятность попадания непрерывной скалярной величины в бесконечно малую окрестность какой-либо точки числовой оси с точностью до бесконечно малых высших порядков определяется равенством

9.3.числовыехарактеристикискалярныхслучайныхвеличин

Как уже было отмечено, исчерпывающей характеристикой любой случайной величины является ее закон распреде-

297

ления, который полностью определяется, например, функцией распределения. Однако для решения прикладных задач часто оказывается достаточным описывать распределение случайной величины лишь в самых общих чертах, отражая его наиболее существенные особенности. Для этого используются специальные характеристики распределения (их называют также числовыми характеристиками случайной величины). Основные из таких характеристик дают представление о том, относительно какой точки группируются возможные значения случайной величины и какова степень их рассеивания, в связи с чем одни из них называют характеристиками положения, а другие — характеристиками рассеивания. Ниже эти характеристики рассматриваются применительно к скалярным случайным величинам.

9.3.1.Характеристикиположения

Вкачестве числовых характеристик положения использу-

ются: мода, медиана и математическое ожидание.

Модой называют значение случайной величины, которому соответствует максимум функции вероятности или плотности распределения. Таким образом, мода (условимся обозначать ее символом Mo) дискретной случайной величины определяется из условия

а непрерывной — из условия

что иллюстрируется рис. 9.9 и рис. 9.10 (вертикальными линиями на рис. 9.10 представлены вероятности возможных значений

x1, x2, …, xn).

Медианой называется корень уравнения

F(x) = 0,5,

т. е. такая точка Me на числовой оси, для которой

298

Медиана непрерывной случайной величины всегда определяется однозначно (рис. 9.11 и 9.12).

Дискретная же случайная величина может либо вообще не иметь медианы (рис. 9.1 ), либо иметь их бесконечное множество (рис. 9.14), в связи с чем применительно к таким случайным величинам эта числовая характеристика на практике используется редко.

Математическое ожидание является наиболее часто используемой числовой характеристикой положения.

Для дискретной случайной величины оно определяется как сумма произведений ее возможных значений на их вероятности, т. е. с помощью оператора

299

(9.16)

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется оператором

(9.17)

который по существу аналогичен оператору (9.16) с той лишь разницей, что здесь суммирование заменено интегрированием, а вероятность p(xi) — элементом вероятности f (x)dx (заметим, что интеграл в правой части выражения (9.17) практически следует вычислять в пределах, определяющих интервал значений x, при которых плотность f (x) отлична от нуля).

По смыслу математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, а точнее — число mx, около которого при достаточно большом количестве испытаний группируется среднее арифметическое ее реализовавшихся значений.

Действительно, пусть при осуществлении N испытаний, результаты которых представляются дискретной случайной величиной X с возможными значениями x1, x2, …, xi, …, xn, каждое из этих значений реализовалось соответственно N1, N2, …, Ni, …Nn раз. Среднее арифметическое полученных результатов

00