Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

. При x = 2 на основе равенства (9.2)

F(2) = P(X < 2).

Обращаясь к табл. 9.2, видим, что неравенство X < 2 выполняется, если случайная величина Xпринимает либо значение x1 = 0,либо значение x2 = 1. Ввиду того, что такие исходы испытания являются несовместными,

Отсутствие на интервале 1 < x < 2 возможных значений рассматриваемой случайной величины позволяет заключить, что F(x) = 0,5 для всех 1 < x # 2.

4. При x = по определению

F( ) = P(X < ),

а из табл. 9.2 следует, что выполнение неравенства X < имеет место при осуществлении какого-либо их трех несовместных исходов испытания: случайная величина X реализуется значением x1 = 0 или значением x2 = 1, или значением x = 2. Поэтому

причемF(x)=0,875длявсех2 < x # ,ибонаинтервале2 < x < рассматриваемая случайная величина возможных значений не имеет.

5. Рассуждая аналогично, приходим к выводу о том, что при любом x > (например, при x = ,01) неравенство X < x выполняется, если осуществляется хотя бы один из четырех несовместных исходов испытания: случайная величина X принимает либо возможное значение x1 = 0, либо возможное значение x2 = 1, либо возможное значение x = 2, либо возможное значение x4 = . Поэтому для любого x >

F( ) = p(x1) + p(x2) + p(x ) + p(x4) = 0,875 + 0,125 = 1. (9.6)

Результат является очевидным, поскольку рассматриваемая случайная величина при осуществлении испытания достоверно принимает значения меньше, чем любое x > .

291

График функции распределения, соответствующий условиям рассмотренного примера, представлен на рис. 9.1. Из этого рисунка следует, что функция распределения дискретной случайной величины в промежутках между ее возможными значениями не изменяется. В точках, отвечающих возможным значениям, эта функция имеет разрывы, совершая скачки, которые равны вероятностям соответствующих возможных значений. Следовательно, она столь же информативна, как и функция вероятности, заданная табл. 9.1.

Обобщая результаты решения задачи в примере 9.1 (равенства (9. )–(9.6)), можно заключить, что в общем случае функция распределения скалярной случайной величины определяется соотношением

(9.7)

где p(xi) — вероятности ее возможных значений.

Очевидно, что чем больше возможных значений имеет случайная величина, тем большим оказывается число скачков соответствующей ей функции распределения, а, следовательно, тем меньшей величина каждого из них (сумма всех скачков равна единице). Следовательно, функция распределения непрерывной скалярной случайной величины, возможные значения которой сплошь заполняют тот или иной интервал, представляется непрерывной кривой

Заметим, что поскольку вид функции F(x) определяется распределением вероятностей на множестве возможных значений случайной величины, более правильно называть ее функцией распределения вероятностей.

Функция распределения скалярной случайной величины имеет следующие основные свойства:

1. 0 # F(x) # 1, ибо ее значения являются вероятностями. 2. как вероятность достоверного со-

бытия.

как вероятность невозможного со-

бытия.

. Если x2 > x1, , то F(x2) > F(x1), т. е. функция распределения является неубывающей функцией аргумента x.

В справедливости этого утверждения можно убедиться следующим образом. Введем в рассмотрение события (рис. 9. ):

A

B1 B2

Рис. 9.3

A — выполнение неравенства X < x2; B1 — выполнение неравенства X < x1;

B2 — выполнение неравенства x1 # X < x2. Очевидно, что

A = B1 + B2,

причем события B1 и B2 несовместны. Поэтому

P(A) = P(B1) + P(B2)

или

P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 # X < x2).

Отсюда, принимая во внимание равенство (9.2), определяющее смысл функции распределения скалярной случайной величины, получим

29

294

венство x1 # X в скобках левой части соотношения (9.9) можно заменить строгим, т. е. считать интервал от x1 до x2 открытым. Кроме того, из-за этой особенности нет смысла задавать распределение такой случайной величины вероятностями ее возможных значений. Речь может идти только о вероятностях ее появления в том или ином интервале, определение которых обеспечивает вполне функция распределения. Следовательно, и для непрерывных скалярных случайных величин она является исчерпывающе информативной.

9.2.4.Плотностьраспределения

Плотностью распределения скалярной случайной величины X называется функция f (x) аргумента x, которая при каждом x равна пределу отношения вероятности попадания данной случайной величины на интервал Dx в окрестности точки x к длине этого интервала, когда она стремится к нулю, т. е.

(9.10)

(если такой предел существует).

Из данного определения следует, что функция f (x) по существу задает плотность вероятности в окрестности каждой точки числовой оси, поэтому более правильно называть ее плотностью распределения вероятностей.

Принимая во внимание соотношение (9.9), равенство (9.10) можно представить в виде

откуда следует, что

(9.11)

т. е. плотность распределения скалярной случайной величины есть производная от функции распределения F(x) по аргументу x. Поэтому она как форма представления закона распреде-

295