Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

бракованным, а также вероятности того, что это бракованное изделие сделано на первой, второй и третьей линиях.

Решение

Обозначим через H1, H2, H события, состоящие в том, что взятое изделие произведено соответственно на первой, второй и третьей линиях. Согласно условиям задачи P(H1) = 0,2; P(H2) = 0,1; P(H ) = 0,5 и эти события образуют полную группу несовместных событий, т. е. сумма их вероятностей равна 1.

ОбозначимчерезAсобытиесостоящеевтом,чтонаугадвзятое изделие оказалось бракованным. Согласно условиям задачи

P(A/H1) = 0, 5; P(A/H2) = 0,02; P(A/H ) = 0,0 .

Используя формулу полной вероятности, получаем

P(A) = 0,05·0,2 + 0,02·0, + 0,0 ·0,5 = 0,0 1.

Априорные вероятности того, что наугад взятое изделие изготовлено на первой, второй или третьей линии, равны соот-

ветственно 0,2; 0, ; 0,5.

Допустим, что в результате контроля взятое наугад изделие оказалось бракованным; определим теперь апостериорные вероятности того, что это изделие изготовлено на первой, второй или третьей линиях. По формуле Байеса имеем

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Прибор состоит из трех последовательно включенных блоков. События означают исправность блоков. Выразить всеми возможными способами событие — отсутствие сигнала на выходе прибора через события Ai и .

281

2. Прибор состоит из трех параллельно включенных блоков. События означают исправность блоков. Выразить всеми возможными способами событие B — наличие сигнала на выходе через события Ai и .

. Три стрелка, имея в наличии по два патрона, стреляют по мишени по очереди, расходуя по одному патрону. Победившим считается первый попавший в мишень. Через Ai и (попадание и промах) выразить события:

Bi — состязание выиграет i-й стрелок; C — состязание не выиграет никто.

4.Каждая из четырех изготовленных деталей может ока-

заться годной (Ai) либо дефектной (). Выразить события, состоящие в том, что:

а) ровно три детали имеют дефект; б) все детали годные; в) хотя бы одна имеет дефект;

г) не более двух имеют дефект; д)только вторая имеет дефект.

5.По линии связи передается сигнал. Событие означает, что сигнал искажен на промежуточном пункте, событие — сигнал искажен на конечном пункте. Пояснить смысл следую-

щих событий:

а) , б) AB, в) A + B, г) , д)

6.В барабане револьвера семь гнезд. В пять из них вложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, и после остановки нажимается спусковой крючок. Найти вероятность того, что при двукратном осуществлении такого испытания:

а) выстрела не произойдет; б) произойдет два выстрела; в) произойдет один выстрел.

Примечание: Осечка исключена.

7.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наугад вынимают 2 шара. Найти вероятности того, что:

а) оба шара белые; б) оба шара черные;

282

в) шары разного цвета.

8.В коробке среди пятнадцати деталей имеются 5 бракованных. Определить вероятность того, что среди наугад взятых четырех деталей не менее двух окажутся неисправными.

9.В урне находятся белых, 4 черных и 8 красных шаров. Из нее последовательно извлекают по одному шару. Определить вероятность того, что белый шар появится раньше черного.

10.При контроле качества продукции из каждой партии в 100 изделий проверяются случайным образом выбранные 50, и партия принимается, если в выборке оказалось не более одного дефектного изделия. Какова вероятность принять партию, содержащую 5 дефектных изделий?

11.В урне содержится 5 пронумерованных шаров. Из нее последовательно наугад извлекают по одному все шары. Определить вероятность того, что шары будут идти в возрастающем порядке.

12.Из урны, содержащей 6 белых, 4 красных и черных шара, наугад вынимают три шара. Найти вероятность того, что они будут:

а) одного цвета; б) разного цвета.

1 . Из полного набора домино (28 костей) наугад вынимают две кости. Первая вынутая кость оказалась 2-2. Найти вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

14.Из полного набора домино (28 костей) наугад вынимают две кости. Первая вынутая кость оказалась 2-4. Найти вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

15.Из полного набора домино (28 костей) наугад вынимают две кости. Найти вероятность того, что их можно приставить друг к другу.

16.Вероятность того, что новорожденный доживет до 5 лет, равна 0,95; вероятность того, что он доживет до 60 лет, равна 0,6. Какова вероятность человеку, прожившему 5 лет, дожить до 60 лет?

17.В ящике находятся 10 деталей, 4 из которых имеют дефект. Из него последовательно с возвращением извлекают

28

по одной детали до тех пор, пока не встретится деталь без дефекта. Какова вероятность того, что придется извлечь не более трех деталей.

18.Система контролирует работу 6 агрегатов, от каждого из которых в течение времени Т может поступить сигнал о неисправности с вероятностью 0,2. Найти:

а) моду, медиану, математическое ожидание; б) дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

в) вероятность того, что число отказов превысит .

19.Сколько партий вероятнее выиграть у равносильного противника:

а) три из четырех или пять из восьми; б) не менее трех из четырех или не менее пяти из восьми.

20.Партия изделий содержит 5% брака. При каком объеме случайной выборки вероятность попадания в нее хотя бы одного бракованного изделия будет не менее 0,9?

21.Однотипные приборы поставляются двумя заводами, причем первый из них поставляет 2/ от общего количества. Вероятность безотказной работы в течение заданного времени приборов, поставляемых первым заводом, равна 0,96, а вторым — 0,9. Определить вероятность того, что взятый наудачу прибор проработает заданное время.

22.В условиях задачи 21 определить вероятность того, что: а) проработавший заданное время прибор поставлен вто-

рым заводом; б) отказавший прибор поставлен первым заводом.

2 . В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, — подготовлены отлично, 4 — хорошо, 2 посредственно и 1 — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

24. Микросхемы поставляются с трех заводов. Первый и третий поставляют по 25% всей продукции, а второй — 50%. Ве-

284

роятности того, что микросхемы проработают заданное число часов, соответственно равны 0,9, 0,8, и 0,6. Определить вероятность того, что:

а) взятая наугад микросхема проработает заданное число часов;

б) с какого завода наиболее вероятно была поставлена микросхема, не проработавшая заданное число часов.

вопросыдлясамопроверки

1.Что является предметом теории вероятностей?

2.Дайте определение случайного события и приведите примеры.

. Что называется суммой и произведением нескольких событий?

4.Какие события называются несовместными? Приведите примеры.

5.Дайте определения достоверного и невозможного событий и приведите примеры.

6.Как определить частоту и вероятность наступления события?

7.Приведите формулировку аксиом Колмогорова.

8.Что такое условная вероятность?

9.Каковы правила действий с вероятностями?

10.Приведите схему Бернулли.

11.Выведите формулу полной вероятности.

12.Выведите формулу Байеса.

285