Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

8.5.Правиладействийсвероятностями

Область практического применения классического способа определения вероятности ограничена задачами, условия которых сводятся к “схеме урн”. Ограничена на практике и область статистического способа определения вероятностей событий по их частотам. Поэтому при решении практических задач широко используются методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий находить вероятности других, связанных с ними.Системутакихметодовипредставляетсобой,всущности, сама теория вероятностей. Ее основу составляет совокупность правил действия с вероятностями, а именно — правил (теорем) умножения и сложения вероятностей.

Правилаумножениявероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т. е.

Вероятность произведения нескольких событий определяется соотношением

(8.10)

а если эти события независимы в совокупности, то

(8.11)

271

Правиласложениявероятностей

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т. е.

Вероятность суммы нескольких событий в общем случае определяется соотношением

Отсюда следует, что сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу, равна единице. Действительно, в этом случае, согласно соотношению (8.1),

P(A1 + A2 + … + An) = P(U),

но P(U) = 1, а

поэтому

(8.16)

Принимая во внимание, что противоположные события по определению являются несовместными и составляют полную группу, из соотношения (8.16) получим также

(8.17)

или

(8.18)

272

Пример 8.3. По цели производится три независимых выстрела. Вероятности попадания в цель при каждом очередном выстреле равны соответственно 0,1, 0,2 и 0, .

Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель.

Решение

Введем обозначения: Ai — попадание в цель при i-м выстреле (i = 1, 2, ). — событие, противоположное событию Ai (промах). B — попадание в цель хотя бы один раз.

Найдем вероятности событий . P() = 0,9; P() = 0,8; P() = 0,7. А искомую вероятность найдем из соотношения (см.

формулы (8.11); (8.17); (8.18)

В задачах, подобных рассмотренной, при большом числе испытаний и исходов отыскание необходимых соотношений между событиями существенно упрощается при использовании соответствующего графа (дерева) событий. Применительно к задаче примера 8. такой граф представлен на рис. 8.9.

Рис. 8.9

Использование графа (дерева) событий позволяет не только упростить процесс отыскания вероятностей интересующих событий, но и проводить проверку правильности расче-

27

тов. При этом используется свойство графа, состоящее в том, что сумма вероятностей исходов на каждом уровне графа равна единице.

Пример 8.4. В урне лежат три белых, три черных и три красных шара. Сразу берут три шара. Какова вероятность того, что все три шара окажутся:

а) одинакового цвета; б) разного цвета.

Решение

Предположим, что шары вынимаются через малые промежутки времени. Для наступления события а) первый взятый наудачу шар может оказаться любого цвета, но второй шар должен быть того же цвета, а вероятность этого события равна 2/8. Третий шар также должен быть того же цвета с вероятностью 1/7. По формуле (8.11) искомая вероятность

P(A) = 1·2/8· /7 = 1/28.

Для случая б), рассуждая аналогично, получаем

P(B) = 1·6/8· /7 = 9/28.

8.6.Повторениенезависимыхиспытаний.схемабернулли

При решении целого ряда практических задач приходится сталкиваться со следующей схемой проведения испытаний. Производится N испытаний, в результате каждого из которых наступает либо событие A, либо противоположное ему событие . Вероятность события A в любом испытании не зависит от исходов всех других испытаний (испытания являются независимыми) и равна P (это обеспечивается одинаковым комплексом условий проведения каждого испытания). Такая схема испытаний впервые была рассмотрена Я. Бернулли и носит его имя.

Применительно к схеме Бернулли простейшая задача заключается в определении вероятности PN(k) того, что событие A при N испытаниях наступит ровно k раз (k = 0, 1, 2, …, N).

274

Очевидно, что такой результат будет иметь место, если событие A произойдет в каких-либо k испытаниях и не произойдет (т. е. произойдет событие ) в остальных (N – k) испытаниях. Поскольку испытания являются независимыми, вероятность каждого из этих исходов равна pk(1 – p)N–k.

Число всех таких несовместных исходов представляется числом сочетаний из N элементов по k, так как испытаниями, в которых наступит событие A, могут быть любые k из общего их числа N.

Следовательно,

(8.20)

где , k = 0, 1, 2, …, N.

Полученная формула называется формулой Бернулли. Для удобства ее практического использования составлена таблица значений вероятностей PN(k) в зависимости от значений N, p, k. Такая таблица помещена, в приложении (табл. ).

Отметим следующее. События, состоящие в наступлении события A ровно k раз, являются несовместными и образуют полную группу. Поэтому

(8.21)

Пример8.5.Вусловияхпримера8. найтивероятноститрех промахов, одного, двух и трех попаданий, если вероятность попадания в цель при всех выстрелах одинакова и равна 0,5.

Решение

По формуле Бернулли (8.20), приняв N = и p = 0,5, с помощью табл. приложения находим:

P(B0) = P (0) = 0,125; P(B2) = P (2) = 0, 75;

P(B1) = P (1) = 0, 75; P(B ) = P ( ) = 0,125.

Заметим, что непосредственно из соотношений (8.11), (8.17)

и(8.18), полученных в процессе решения примера 8. , при P(Ai)

=const = p имеем:

275