Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Например, еще в XVIII в. было замечено, что среди обычной корреспонденции письма без адреса обладают определенной устойчивостью. По тем данным можно было сделать вывод о том, что на протяжении нескольких лет на каждый миллион писем приходилось в среднем 25–27 писем без адреса.

Частотный подход к определению вероятности, несмотря на его кажущуюся простоту, приводил к теоретическим и математическим трудностям. Поэтому в современной теории вероятностей понятие вероятности события обычно вводят аксиоматически.

8.3.2.Аксиоматическоепостроениетеориивероятностей

Рассмотрим формулировки аксиом, данные академиком А. Н. Колмогоровым [9].

1.Каждому случайному событию A , E поставлено в соответствие число P(A), 0 #P(A) #1, которое называют вероятностью наступления события A.

2.Вероятность достоверного события равна единице:

P(U) = 1.

. Если события A1, A2, …, Ai …, An попарно несовместные, то

Из аксиом следуют свойства вероятности, которые приведем без доказательства.

1. Вероятность невозможного события равна нулю

P(V) = 0.

2. Вероятность события, , противоположного событию A, равна

. Если событие А влечет за собой событие B (A , B), то

P(A) # P(B).

266

4.Вероятность любого события A заключена между нулем

иединицей

0 # P(A) # 1.

5. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Таким образом вводится одно из правил действия с вероятностями — правило сложения вероятностей.

Другое правило — правило умножения вероятностей — опирается на понятие условной вероятности. Условной вероят-

ностью P(A/B) называют вероятность события A, вычисленную при условии, что событие B произошло.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло:

P(AB) = P(A)P(B/A)

или

P(AB) = P(B)P(A/B).

8.3.3.Классическийспособопределениявероятности

Втеории вероятностей широкое распространение получили задачи, условия которых соответствуют так называемой схеме урн [4, 5]. Сущность этой схемы может быть сформулирована следующим образом. Результаты эксперимента представ-

ляются конечным числом равновозможных и несовместных

исходов, составляющих полную группу, причем некоторые исходы благоприятствуют наступлению какого-либо события, т. е. при осуществлении любого из них данное событие имеет место. (Понятие равновозможности исходов эксперимента в классической теории вероятностей является основным, однако формально не определяется).

267

Такая схема реализуется наиболее просто, если эксперимент заключается в том, что из “урны” (непрозрачного сосуда), содержащего некоторое известное количество одинаковых на ощупь шаров разного цвета, извлекается наудачу некоторое число шаров, а интересующим экспериментатора событием является выход определенной комбинации шаров каждого цвета. Этим и объясняется принятое название данной схемы.

Классический способ определения вероятности представляется формулой

(8.4)

где m — число исходов испытания, благоприятствующих наступлению события A;

n — общее число равновозможных несовместных исходов. В урне находятся K одинаковых на ощупь шаров, в том числе M белых и (K – M) черных. Испытание заключается в извлечении из нее наудачу N каких-либо шаров. Интересующее нас событие состоит в том, что среди выбранных шаров ровно m

окажутся белыми.

Очевидно, что общее число всех равновозможных и несовместных исходов рассматриваемого испытания равно . Событие, вероятность которого надо определить, будет иметь место, если в выборку попадут любые m белых шаров и любые (N – m) черных. Количество вариантов выбора m белых шаров из общего их числа M равно . Каждый такой вариант может осуществиться с каким-либо из вариантов выбора (N – m) черных шаров из (K – M), имеющихся в урне. Следовательно, число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события, равно произведению . Таким образом, согласно формуле (8.4), искомая вероятность определяется выражением

Общим недостатком классического способа определения вероятности является ограниченная его применимость. Дейс-

268

твительно, далеко не все комплексы условий приводят к возможности применения рассмотренных способов.

Поэтому в теории вероятностей разработаны способы, позволяющие определить вероятности одних событий через известные вероятности других. Основу этих способов составляют правила умножения и сложения вероятностей, опирающиеся на понятие условной вероятности.

8.4.Понятиеусловнойвероятности.стохастическая зависимостьслучайныхсобытий

Пусть производится испытание со случайным исходом, в результате которого могут произойти (или не произойти) ка- кие-то события A и B или несколько событий.

Вероятность события при условии наступления в данном испытании другого события (нескольких событий) называют

условной и обозначают P(A/B), P(A/B1, B2, …, Bn) и т. д. Проиллюстрируем введенное понятие на примере. Осу-

ществляется однократное бросание игральной кости и рассматриваются события: A — выпадение шести очков, B — выпадение четного числа очков. Применение классического способа

определения вероятности в данном случае даст . Если в комплекс условий такого испытания ввести факт наступ-

ления события B, то соответствующая условная вероятность

P(A/B) оказывается равной (число всех равновозможных несовместных исходов испытания с выпадением четного числа очков — три, а выпадение шести очков происходит только в одном из них). Если же в комплекс условий испытания ввести факт наступления события , то условная вероятность оказывается равной нулю, поскольку появление шести очков при выпадении нечетного их числа невозможно (события A и несовместны). Таким образом, для рассмотренного испытания

(8.5)

269

причем

P(A/B) P(A),

(8.6)

Из приведенного примера видно, что между событиями может существовать особого типа зависимость, которая проявляется в том, что вероятность одного из них изменяется при наступлении или ненаступлении другого (других). Такую зависимость называют стохастической (вероятностной) [6].

Два события A и B являются стохастически зависимыми,

если факт наступления или ненаступления одного из них изменяет вероятность наступления другого так, что выполняется условие (8.6). В противном случае, когда одно из событий не “реагирует” на появление или непоявление другого изменением своей вероятности, т. е. имеют место равенства

(8.7)

они являются стохастически независимыми. (В дальнейшем для краткости первое слово термина “стохастическая зависимость” будем опускать).

Зависимость (так же, как и независимость) событий всегда взаимна, т. е., если событие A зависит от B, то и B зависит от A. Более того, в этом случае зависимыми оказываются события A и B, A и , и .

Несовместные события всегда зависимы. В самом деле, если события A и B несовместны, то при любом значении вероятности P(A) условная вероятность P(A/B) равна нулю и, следовательно, P(A/B) P(A).

Несколько событий называются попарно независимыми, если независимыми являются любые два из них.

Несколько событий независимы в совокупности, если вероятность наступления каждого из них не изменяется при появлении любой комбинации остальных. Следует иметь в виду, что для независимости событий в совокупности их попарной независимости недостаточно.

270