Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Иногда при решении практических задач случайными отклонениями пренебрегают, рассматривая не само реальное явление, а его упрощенную схему (модель), полагая, что в данных условиях наблюдения явление протекает вполне определенным образом. При этом из всей совокупности факторов, воздействующих на явление, выделяются основные, наиболее существенные. Влиянием остальных, второстепенных, факторов просто пренебрегают.

Такая схема изучения явлений часто применяется в механике, технике, психологии, экономике и других отраслях знаний. При таком подходе выявляется основная закономерность, присущая данному явлению и дающая возможность предсказать результат наблюдения при определенных исходных данных. По мере развития науки число учитываемых факторов увеличивается, явление исследуется подробнее, научный прогноз становится точнее. Описанная схема изучения явлений получила название классической схемы так называемых точных наук.

Однако при решении многих практических задач классическая схема “точных наук” неприменима. Существуют задачи, результат решения которых зависит от достаточно большого числа факторов, зарегистрировать и учесть которые практически невозможно.

Например, производится обстрел объекта из артиллерийского орудия с целью его поражения. Как было отмечено выше, при стрельбе из артиллерийского орудия имеет место рассеивание точек падения снарядов. Если размеры объекта существенно превышают размеры зоны рассеивания, то этим рассеиванием можно пренебречь, поскольку выпущенный снаряд попадет в цель. Если размер объекта меньше размеров зоны рассеивания, то некоторая часть снарядов в цель не попадет. В этих условиях приходится решать задачи, например, по определению среднего числа снарядов, попавших в цель, требуемого числа снарядов для надежного поражения цели и др. При решении таких задач классическая схема “точных наук” оказывается недостаточной. Эти задачи связаны со случайной

256

природой рассеивания снарядов, и при их решении случайностью этого явления пренебрегать нельзя. Необходимо изучить рассеивание снарядов как случайное явление с точки зрения присущих ему закономерностей. Надо исследовать закон распределения координат точек падения снарядов, выяснить источники, вызывающие рассеивание и т. д.

Рассмотрим второй пример. Система автоматического управления функционирует в условиях непрерывно воздействующих помех. Действие помех приводит к отклонению управляемых параметров от расчетных значений. При исследовании процесса функционирования системы необходимо установить природу и структуру случайных возмущений, выяснить влияние конструктивных параметров системы на вид этой реакции и т. п.

Все подобные задачи, а число их в природе чрезвычайно велико, требуют изучения не только основных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и исключений, связанных с наличием второстепенных факторов и придающих исходу наблюдений при заданных исходных данных элемент неопределенности.

С теоретической точки зрения второстепенные (случайные) факторы ничем не отличаются от основных (наиболее существенных). Точность решения задачи можно повышать за счет учета большого числа факторов от самых существенных до самых ничтожных. Однако это может привести к тому, что решение поставленной задачи ввиду сложности и громоздкости будет практически неосуществимым и не будет представлять никакой ценности.

Очевидно, должна существовать принципиальная разница

вметодах учета основных факторов, определяющих явление

вглавных чертах, и второстепенных факторов, влияющих на явление в качестве возмущений. Элементы неопределенности, сложности, присущие случайным явлениям, требуют создания специальных методов для изучения этих явлений.

Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономернос-

257

ти, наблюдаемые в случайных явлениях. При многократных наблюдениях однородных случайных явлений обнаруживаются в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовым случайным явлениям.

Например, если много раз подряд бросать монету, то частота появления цифры (отношение числа бросаний, при которых появилась цифра, к общему числу бросаний) постепенно стабилизируется, приближаясь к числу равному 0,5. Такое же свойство “устойчивости частоты” обнаруживается и при многократном повторении любого другого опыта, исход которого представляется заранее неопределенным (случайным).

Закономерности в случайных явлениях появляются всегда, когда имеют дело с массой однородных случайных явлений. Они оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, а средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже неслучайным.

Методы теории вероятностей приспособлены только для исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний случайный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным (случайным).

Вероятностные методы не противопоставляют себя классическим методам “точных наук”, а являются их дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.

В зависимости от сложности случайного явления для его описания используют следующие понятия: случайное собы-

тие, случайная величина, случайная функция (рис. 8.2).

Именно в такой последовательности и будем рассматривать закономерности в случайных явлениях.

258

Случайное явление

Рис. 8.2

8.2.Основныепонятияиопределения

Одним из фундаментальных понятий в теории вероятностей является испытание (эксперимент). Под испытанием понимают наблюдение того или иного явления при реализации определенного комплекса условий (наблюдение этого же явления в других условиях считается другим испытанием).

Если результат испытания фиксируется только как факт, то его называют событием.

Введем следующую формальную схему испытания (эксперимента) (рис. 8. ).

S

259

На рисунке обозначено:

S — комплекс условий эксперимента;

E — множество результатов эксперимента.

Водной реализации эксперимента может появиться один

итолько один исход, который называют элементарным собы-

тием ei. Множество всех исходов эксперимента E называют

пространством элементарных событий [5]. Оно вводится описательным путем.

Пример 8.1. Производится прием готовой продукции на

предприятии. Элементарными событиями будут e1 — исправное изделие не принято, e2 — принятое изделие исправно, e — принято исправным дефектное изделие. Множество исходов: e1, e2, e образует пространство элементарных событий E = {e1, e2, e }.

Группируя различным образом элементарные события, также будем получать события. Событие A — это подмножество пространства элементарных событий A , E.

Вдальнейшем события будем обозначать прописными буквами начала латинского алфавита: A, B, C и т. д. или такими же буквами с цифровыми индексами.

Например, событие A — изделие принято (пример 8.1)

включает элементарные события e2 — принятое изделие исправно и e — принято исправным дефектное изделие:

A = {e2, e }.

Пример 8.2. Производится обстрел m целей. Элементарные события: e1 — ни одна цель не поражена (e1 = 0); поражена одна

цель (e2 = 1); поражено две цели (e = 1) и т. д. до em+1 = m. В этом случае получаем пространство элементарных событий

E = {e1, e2, …, em+1}.

Событие B — поражение не менее двух целей включает элементарные события e , e4, …, em+1

E = {e , e4, …, em+1}.

Все множество событий, которое можно построить на пространстве элементарных событий, называют полем событий или s (сигма)-алгеброй.

260