Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev
1) функция S(x) на [a, b] непрерывна; |
|
|
2) |
|
|
Пример 7.11. |
|
|
Ряд 1 + x + x2 + … + xn-1 + … на отрезке |
сходится рав- |
|
номерно к функции |
, поэтому |
|
или 
.
Если функции Wn(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b] и на этом отрезке:
1) ряд W1(x) + W2(x) + … + Wn(x) + …
сходится к функции S(x);
2) ряд W1 (x) + W2 (x) + … + Wn (x) + …
сходится равномерно, то S(x) имеет на [a, b] непрерывную производную и
S (x) = W1 (x) + W2 (x) + … + Wn (x) + … [11, 20, 22].
7.3.степенныеряды
Функциональный ряд.
(7.7)
где an(n = 0, 1, 2, …) и x0 — некоторые числа, называют степенным рядом с центром в точке x0.
Возможны следующие три случая:
1)степенной ряд (7.7) сходится только при x = x0 (везде расходящийся ряд);
2)степенной ряд (7.7) сходится (причем абсолютно) при любых значениях (всюду сходящийся ряд);
246
) существует число R > 0 такое, что ряд (7.7) сходится абсолютно при |x - x0| < R и расходится при |x - x0| > R (радиус сходимости ряда). R = 0 для всюду расходящегося ряда и R = ` для всюду сходящегося ряда.
Интервал (x0 - R, x0 + R) называют интервалом сходимости степенного ряда (7.7). При этом на концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.
Пример 7.12.
Найдем область сходимости степенного ряда
Положим 
Тогда по признаку Даламбера имеем
следовательно, данный степенной ряд сходится абсолютно при |x| < 2 и расходится при |x| > 2, а радиус его сходимости равен 2 (R = 2).
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости: при x = 2 ряд 
расходится, а при x = -2
ряд 
сходится. Поэтому область схо-
димости исходного степенного ряда E = [-2; 2).
Основныесвойствастепенныхрядов[2,11]
1.Если степенной ряд не является всюду расходящимся, то его сумма непрерывна в каждой точке области сходимости.
2.Степенной ряд внутри его области сходимости можно интегрировать почленно, так что если
0 + 1(x - x0) + 2(x - x0)2 + … + n(x - x0)n + … = S(x), x [E,
то
247
Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно дифференцировать почленно, так что если
0 + 1(x - x0) + 2(x - x0)2 + … + n(x - x0)n + … = S(x),
x [(x0 - R, x0 + R), R > 0,
то
1 + 2 2(x - x0) + … + n n(x - x0)n-1 + … = S (x), x [(x0 - R, x0 + R).
Это свойство сохраняет силу и для конца интервала сходимости, если только последний ряд на этом конце сходится.
4. Если степенной ряд
0 + 1(x - x0) + 2(x - x0)2 + … + n(x - x0)n + …
не является всюду расходящимся, то его сумма S(x) имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков. При этом
0 = S(x0); 1 = S (x0), 
Разложениефункцийвстепенныеряды
Если функция f(x) имеет производные всех порядков при x = x0, то степенной ряд
(7.8)
называют рядом Тейлора для функции f (x). При x0 = 0 получают частный случай ряда Тейлора
248
(7.9)
который часто называют рядом Маклорена [2, 11, 22].
Для того чтобы ряд (7.8) сходился к функции f (x), необхо-
димо и достаточно, чтобы |
, где Rn(x) — остаточный |
член ряда Тейлора.
Приведем теорему, которая позволяет устанавливать, стремится ли Rn(x) к нулю при неограниченном возрастании n или нет, т. е., разлагается ли функция f (x) в ряд Тейлора или нет.
Теорема 7.3.
Если функция f (x) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, имеет (n + 1)-ю производную f(n+1)(x), то остаточный член Rn(x) для любой точки этого интервала имеет вид
где заключено между x0 и x [2] (см. также гл. 4).
Приведем разложения в степенной ряд некоторых функций:
Задачидлясамостоятельногорешения
1. С помощью признаков сравнения исследовать сходимость рядов:
249
1.1. 
1.2. 
1. . 
1.4. 
2. Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера:
2.1. 
2.2.
. Исследовать сходимость рядов с помощью признака Коши:
.1. 
.2.
4. Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака Коши:
4.1. 
4.2. 
5. Исследовать абсолютную или условную сходимость ря-
дов:
5.1. 
5.2. 
5. . 
5.4. 
6). Найти области сходимости степенных рядов: 6.1. 
6.2. 
6. . 
6.4. x + 2x2 + 4x + 8x4 + …
250