Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

в) (6y + 4x)dx + ( y + 8x)dy = 0;

г)

4. Найти общие решения линейных дифференциальных уравнений и частные решения там, где заданы начальные условия:

а)

б)

в)

г)

5.Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) y′ − 2y + 7 = 0; б) y′ − 6y + 9 = 0.

6.Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) y″ = 5x; б) y″ = cos x;

в) y″ = 18x2 + 2; г) y″ = 10x2 + 2x.

7.Решить задачу Коши для дифференциальных уравне-

ний:

а) при б) y″ = sin x при

8.Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) y″ − 5y′ + 6 = 0; б) y″ − y′ + 16 = 0; в) y″ − 22y′ + 12 = 0; г) 6y″ − 10y′ − 7 = 0;

9.Найти частные решения дифференциальных уравне-

ний, удовлетворяющие заданным начальным условиям: а) y″ + 4y′ + = 0, если

2 7

б) y″ − 10y′ + 25 = 0, если

10. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) y″ − 2y′ + 2y = e4x;

б) y″ − y′ − 2y = e7x;

в) y″ + y′ + 2y = 4x2 − x − 16;

г) y″ + 4y′ + 4y = sin x + 2cos x; д) y″ − 12y′ + 6y = sin x;

е) y″ − 4y′ − 5y = cos x.

11. Решить системы дифференциальных уравнений

а)

б)

вопросыдлясамопроверки

1.Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

2.Что такое общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

. Что такое частное решение и в чем суть начальных условий для дифференциального уравнения первого порядка?

4.Дать формулировку теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

5.Что является геометрической иллюстрацией общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка?

2 8

6.Что такое дифференциальное уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и каким методом его можно решить?

7.Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются однородными, каков их метод решения?

8.Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются линейными, каков их метод решения?

9.Какиедифференциальныеуравненияназываютсяобыкновенными? Каков их общий вид?

10.Какие функции называются однородными функциями n-го измерения?

11.Как найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами?

12.Чем отличается задание краевых условий от задания начальных условий в дифференциальных уравнениях второго порядка?

1 . Какие дифференциальные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами называются однородными?

14.Как найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

15.Как найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью?

16.Что называется системой дифференциальных уравнений и ее решением?

17.Как система дифференциальных уравнений сводится к одному дифференциальному уравнению высшего порядка.

2 9

7.ряды

7.1.числовыеряды

Выражение ,

где w1, w2, …, wn, … — некоторые числа, называют числовым рядом; w1, w2, …, wn, … — это члены ряда.

Для любого числового ряда можно построить после-

довательность его частичных сумм Sn:

вают суммой ряда и говорят, что этот ряд сходится. Если этот предел не существует, то говорят, что ряд (7.1) расходится и суммы не имеет [ , 11, 22].

Приведем конкретные примеры.

Пример 7.1.

Гармонический ряд расходится.

Пример 7.2.

Геометрическая прогрессия

w + wq + wq2 + … + wqn-1 + … (w 0)

сходится при | q | < 1 и расходится при | q | $ 1. Если | q | < 1, то .

Пример 7.3.

Обобщенно гармонический ряд схо-

дится при a > 1 и расходится при a # 1.

240