Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

здесь С2 — произвольная постоянная.

Теперь общее решение исходного дифференциального уравнения мы запишем в виде:

6.4.Понятиеосистемахобыкновенных дифференциальныхуравнений

При решении некоторых задач физики, механики, экономики часто надо находить функции y1 = y1(x), y2 = y2(x), …, yn = yn(x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих искомые функции y1, y2, …, yn, независимую переменную x и производные и (или) дифференциалы искомых функций [22]. В настоящем учебнике кратко рассмотрим системы дифференциальных уравнений первого порядка. Они имеют вид:

(6. 2)

2 1

Система вида (6. 2), правые части которой не содержат производных искомых функций, называется нормальной. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений — значит найти функции y1, y2, …, yn,, удовлетворяющие (6. 2) и начальным условиям

(6. )

если они заданы.

Интегрирование системы (6. 2) проводят следующим образом.

Дифференцируем по х первое уравнение системы (6. 2) и получаем:

Заменяя в этом уравнении производные их вы-

ражениями из (6. 2) получим дифференциальное уравнение

Дифференцируем его по х и, поступая аналогично предыдущему, найдем:

Продолжая далее также, придем к дифференциальному уравнению:

Поэтому исходная система дифференциальных уравнений (6. 2) примет вид:

(6. 4)

2 2

Из первых (n − 1) уравнений системы (6. 4) получаем y2,

(6. 5)

Подставляем выражения для y2, y , …, yn из (6. 5) в последнее уравнение системы (6. 4) и получаем дифференциальное уравнение n-го порядка для определения y1, т. е.

(6. 6)

Решаем уравнение (6. 6) и находим у1

y1 = ψ1(x, C1, C2, …, Cn). (6. 7)

Далее дифференцируем уравнение (6. 7) (n − 1) раз и нахо-

ставляем их в (6. 5) и находим искомые функции y2, y , …, yn, т. е.

(6. 8)

Для того чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (6. ) надо найти из (6. 7) и (6. 8) соответствующие постоянные C1, C2, …, Cn [22].

Теперь приведем конкретный пример решения системы дифференциальных уравнений.

Пример 6.14. Проинтегрируем систему дифференциальных уравнений

(6. 9)

2

Из второго уравнения системы находим

и, подставив в первое уравнение этой системы, получим

После преобразований получим:

(6.41)

Найдем х из дифференциального уравнения (6.40):

и подставим его значение в (6.41). Тогда получим:

(6.42)

Уравнение (6.42) — это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, которые рассматривались в п. 6. .2. Решив уравнение (6.42), найдем неизвестную функцию у.

Вначале найдем общее решение дифференциального уравнения без правой части, т. е. y″ + 4y′ + y = 0.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

2 4

k2 + 4k + = 0; k1 = −1; k2 = − .

А общее решение следующее:

y1 = C1e−t + C2e− t,

где С1 и С2 — постоянные.

Теперь найдем любое частное решение дифференциального уравнения (6.42)

f (x) = cos t − 4sin t.

Так как числа ±i не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение (6.42) ищем в виде

y2 = Acos t + Bsin t,

где А и В неизвестные постоянные, которые необходимо определить.

Находим y2′ и y2″:

y2′ = −Asin t + Bcos t

y2″ = −Acos t − Bsin t.

Поставляем y2; y2′; y2″ в (6.42) и получаем:

−Acos t − Bsin t − 4Asin t + 4Bcos t + Acos t + Bsin t = = 2cos t − 4sin t

или

2Acos t + 4Bcos t + 2Bsin t − 4Asin t = 2cos t − 4sin t,

или

cos t(2A + 4B) + sin (2B − 4A) = 2cos t − 4sin t, 2A + 4B = 2 → A = 1,

2B − 4A = −4 → B = 0.

Следовательно,

y2 = cos t.

А общее решение дифференциального уравнения (6.42) имеет вид:

Теперь определим неизвестную функцию х по формуле

2 5