Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Событие, которое наступает всякий раз при реализации комплекса условий, называют достоверным. Например, падение на землю монеты или кости при их подбрасывании и т. д. [4, 5].

Событие, которое никогда не наступает при реализации данного комплекса условий, называют невозможным. Например, процедура банкротства более m предприятий при диагностике m предприятий является событием невозможным.

В дальнейшем будем обозначать достоверные события буквой U, а невозможные — буквой V.

Событие, которое при реализации данного комплекса условий может как наступить, так и не наступить, называют случайным. Например, попадание в цель при одном выстреле, прием партии готовой продукции при контроле ее качества, отказ элемента системы в процессе ее функционирования в течение времени t и т. п.

Между различными событиями, принадлежащими одному и тому же пространству элементарных событий, могут быть установлены определенные соотношения и операции. Обычно для изображения событий используют логические диаграммы Эйлера-Венна (Венна).

Рассмотрим некоторые операции над событиями. Произведением (пересечением) нескольких событий A1,

A2, …, An называют событие

состоящее в совместном (одновременном или последовательном) их наступлении. Событие B включает те и только те элементарные события, которые принадлежат одновременно и A1, и A2, и ..., и An. Диаграмма Венна для события B = A1·A2 показана на рис. 8.4 (заштрихованная область).

Например, событие, заключающееся в нормальном функционировании технической системы, состоящей из двух последовательносоединенныхэлементов(рис.8.5),являетсяпроизведением двух событий: A1 — исправная работа первого элемента и A2 — исправная работа второго элемента, причем оба эти события при испытании осуществляются одновременно.

261

Примером произведения событий, наступающих при испытании последовательно, является поражение трех целей при их обстреле из орудия тремя снарядами.

Суммой (объединением) событий A1, A2, …, An называют событие C, состоящее в наступлении хотя бы одного из них и обозначаемое

Событие C включает в себя все те элементарные события, которые принадлежат хотя бы одному из событий Ai [4, 5].

В рассмотренном выше примере (см. рис. 8.5), событие C является суммой событий A1 или A2, если C — отказ цепи, а A1 и A2 — отказ первого и второго элемента соответственно.

Диаграмма Венна представлена на рис. 8.6 (заштрихованная область).

E

A1 A2

C

Рис. 8.6

События A1 и A2 называются несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Например, при стрельбе по цели из орудия двумя снарядами события A1 — получение

262

одного попадания в цель и A2 — получение двух попаданий (в той же серии выстрелов) являются несовместными. Символически признак несовместности событий A1 и A2 можно представить так:

A1· A2 = V.

У несовместных событий нет общих точек на диаграмме. Несколько событий называются попарно несовместными, если никакие два из них в данном испытании не могут наступить вместе. Например, при стрельбе по цели из орудия двумя снарядами события A0 — ни одного попадания в цель, A1 — одно попадание в цель, A2 — два попадания в цель попарно несовместны. Обычно попарно несовместные события называют просто несовместными.

Несколько событий A1, A2, …, An составляют полную группу, если в результате испытания обязательно наступает хотя бы одно из них, т. е., если

Так, в рассматриваемом выше примере стрельбы по цели двумя снарядами события A0, A1, A2 составляют полную группу несовместных событий. Диаграмма Венна для данного случая показана на рис. 8.7.

Два несовместных события, составляющих полную группу, называются противоположными (рис. 8.8). Их обычно обозначают A и (не “А”). Например, отказ и нормальное функционирование элемента технической системы, попадание и промах при стрельбе одним снарядом по цели являются противоположными событиями.

26

Для противоположных событий справедливы соотношения

(8.2)

8.3.частотаивероятность.

способынахождениявероятностейслучайныхсобытий

8.3.1.Статистическоеопределениевероятностей

При обработке результатов испытаний принято считать наиболее информативной характеристикой того, как часто наступало некоторое событие A в серии испытаний, произведенных при одном и том же комплексе условий, отношение числа N(A) испытаний, в которых оно имело место, к общему их числу:

(8. )

Эту величину принято называть частотой наступления события (иногда ее называют частостью). Вполне очевидно:

для невозможного события P*(V) = 0;

для достоверного P*(U) = 1;

для случайного 0 # P*(A) # 1.

Знаки нестрогого неравенства здесь поставлены потому, что случайное событие, в принципе, может наступить или не наступить во всех произведенных испытаниях.

При многократном осуществлении какого-либо одного и того же испытания частота наступления соответствующего ему события сравнительно редко сколько-нибудь значительно отклоняется от некоторого неотрицательного числа, причем тем реже, чем больше произведено испытаний. Такое свойство частоты называют устойчивостью. Это свойство, многократно проверенное экспериментально, является одной из наиболее характерных закономерностей, которые присущи случайным явлениям.

264

Число, относительно которого при неограниченном увеличении количества испытаний стабилизируется частота наступления события в определенных условиях, принимают за меру объективной возможности его появления в этих условиях и называют вероятностью данного события.

Обозначать вероятности принято буквами p или P с указанием или без указания в скобках соответствующего события.

Из введенного выше понятия вероятности следует, что

0 # P # 1,

причем для достоверного события

P(U) = 1,

а для невозможного

P(V) = 0.

Вероятность случайного события позволяет судить о том, как часто оно будет иметь место при проведении данного эксперимента. Например, если вероятность нормального функционирования системы за промежуток времени T равна 0.94, то при достаточно большом числе испытаний системы в соответствующих условиях она не откажет в среднем в 94 испытаниях из каждых 100.

Особенность устойчивости частоты состоит в том, что при увеличении числа испытаний она не стремится к вероятности как к пределу, а стабилизируется относительно этой характеристики так, что существенные отклонения частоты от вероятности оказываются все более и более редкими. Тем не менее это дает основание принимать за вероятность события частоту его наступления, полученную по результатам большого числа испытаний. Однако следует иметь в виду, что практическое применение такого способа нахождения вероятностей может быть существенно ограничено стоимостью соответствующих экспериментов. Кроме того, обычно проблематичным является решение вопроса о том, какое число испытаний можно считать достаточным для нахождения вероятности интересующего события без большого риска допустить существенную ошибку в оценке ее величины.

265