Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Необходимо отметить, что интеграл в правой части равенства (9.51) к элементарным функциям не сводится. Поэтому значения функции нормального закона распределения могут быть получены лишь путем численного интегрирования плотности (9.50), результаты которого для постоянного практического использования целесообразно табулировать. Очевидно, что соответствующая таблица должна иметь три входа: верхний предел интегрирования x и параметры mx, sx, т. е. представляется слишком громоздкой. Оказывается, однако, что для решения практических задач достаточно составить только таблицу функции стандартного нормального распределения с параметрами mx = 0, sx = 1, т. е. таблицу функции

(9.52)

имеющую один вход — верхний предел интегрирования y. Такая таблица приведена в приложении (табл. 1).

Действительно, используя в интеграле (9.51) замену переменной интегрирования x на

(9.5 )

и учитывая, что при такой замене , а верхний предел ин-

теграла x следует заменить на , получим

(9.54)

Таким образом, табличная функция (9.52) обеспечивает возможность вычисления значений функции нормального распределения с любыми значениями параметров mx и sx. Поэтому с ее помощью можно, например, рассчитать вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в тот или иной интервал при заданных значениях mx и sx. В самом

16

деле, поскольку всегда эта вероятность равна разности значений функции распределения на границах интервала, т. е.

P(x1 # X # x2) = F(x2) 2 F(x1),

для рассматриваемого случая с учетом соотношения (9.54), имеем

откуда с учетом соотношения (9.94) найдем

(9.55)

Отметим, что значение табличной функции (9.52) при каждом значении ее аргумента y геометрически представляется площадью под кривой плотности

(9.56)

слева от точки y (рис. 9.25). Поскольку эта кривая симметрична относительно нуля, площадь под ней слева от точки 2y, равная FT(2y), одинакова с площадью справа от точки y. Вся же площадь под данной кривой, представляющей плотность распределения (нормального с параметрами m = 0 и s = 1), равна единице. Поэтому из рис. 9.25 следует, что

Значения табличной функции нормального распределения представлены в табл. 1 приложения.

Применительно к нормальному распределению составлена также таблица функции

(9.58)

которую называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей). Она является нечетной функцией своего аргумента, т. е.

17

и геометрически представляется площадью под кривой (9.56) между точками 2y и y (рис. 9.26). Сопоставляя друг с другом рис. 9.25 и 9.26, нетрудно установить, что

Поэтому равенство (9.55) можно представить в виде

(9.61)

Таким образом, функция Лапласа может использоваться для вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (при этом необходимо принимать во внимание соотношение (9.59)).

В приложении функция Лапласа (9.58) представлена в табл. 2.

Функция Лапласа оказывается наиболее удобной при вычислении вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно ее математического ожидания. Действительно, если обозначить длину такого интервала через 2L, то в соответствии с рис. 9.27 его левая и правая границы будут определяться соотношения-

18

ми x1 = mx 2 L и x2 = mx + L. Поэтому по (9.61), с учетом (9.59), получим

LL

(9.62)

Вчастности,еслиL = sx,тоP(|X2mx|<L)=ФT( ) == 0,997 .

Следовательно, при нормальном распределении случайной величины ее возможные значения практически достоверно (с вероятностью 0,997 ) рассеиваются относительно математического ожидания в пределах, не превышающих три стандартных отклонения в каждую сторону. Это утверждение обычно называют правилом «трех сигм».

С помощью табличной функции Лапласа можно установить соотношение между срединным (вероятным) и стандартным отклонениями при нормальном распределении. Для этого необходимо принять в равенстве (9.62) L = Bx и положить определяемую им вероятность равной 0,5, т. е. найти соотношение

Отсюда обратным интерполированием по табл. 2 приложения получаем

так что

(9.6 )

19

Это соотношение иногда представляют в виде

(9.64)

где = 0,4769 — константа нормального распределения.

РаспределениеРелея

Случайная величина R подчиняется закону Релея, если плотность ее распределения определяется выражением

при r # 0,

(9.65)

при r > 0,

где a — параметр распределения (a > 0). Распределение Релея имеет случайная величина

(9.66)

где X и Y — независимые нормально распределенные случайные величины, у которых дисперсии одинаковы, а математические ожидания равны нулю.

В этом случае параметр распределения

где .

Это распределение широко применяется на практике. Например, отклонение точки попадания в мишень от точки прицеливания (Т. пр.) связано с абсциссой и ординатой этой точки со-

20