Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

10.ФункциислучайныхаргуМентОв

10.1.Общаяхарактеристиказадачисследованияфункций случайныхаргументов

На практике широко распространены задачи, связанные с необходимостью использования при их решении теоретиковероятностного аппарата исследования функций случайных аргументов.

Функцией случайных аргументов называют такую случайную величину Y = w(X1, X2, …, Xn), возможные значения которой связаны с возможными значениями случайных аргументов функциональной зависимостью y = w(x1, x2, …, xn). Областью задания функции является область возможных значений системы аргументов {X1, X2, …, Xn}.

Предположим, величина Y является функцией нескольких случайных величин X1, X2, …, Xn:

Y = w(X1, X2, …, Xn),

и пусть известны характеристики случайных аргументов. В этом случае возникают две задачи: первая частная задача — определение числовых характеристик функции и вторая общая задача — нахождение закона распределения функции.

Аналогичные задачи имеют место и при рассмотрении функционального преобразования системы случайных величин:

Y1 = w1(X1, X2, …, Xn);

…………………………

Ym = wm(X1, X2, …, Xn).

Математический аппарат исследования функций случайных аргументов в теории вероятностей разработан достаточно полно. Ограничимся рассмотрением лишь части этого аппарата, используемойприрешениинаиболеетипичныхзадачоценкиэффективности функционирования военно-технических систем.

Наибольший интерес для практики имеет определение числовых характеристик функций. При решении этой задачи

46

не во всех случаях необходимо располагать законом распределения аргументов, а достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики аргументов. Предварительно рассмотрим ряд теорем о математических ожиданиях и дисперсиях, которые используются для построения методов определения числовых характеристик функций случайных аргументов.

10.2.теоремыочисловыххарактеристикахслучайныхвеличин

Сформулируем без доказательства основные теоремы о числовых характеристиках случайных величин. Содержание этих теорем определяет свойства математического ожидания и дисперсии, знание которых необходимо для решения широкого круга прикладных задач исследования функций случайных аргументов [1, 4, 5, 11].

Теоремыоматематическихожиданиях

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Математическое ожидание произведения постоянной величины C на случайную величину X равно произведению этой постоянной на математическое ожидание случайной величины:

т. е. постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания.

. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

(10. )

Данное выражение справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Пример 10.1. Производится обстрел цели, состоящей из n отдельных объектов. Известны вероятности поражения каж-

47

дого объекта p1, p2, …, pn. Определить математическое ожидание числа пораженных объектов.

Решение

Введем в рассмотрение случайную величину Xi, принимающую одно из двух значений: 1, если i-й объект поражен, или 0, если i-й объект не поражен. Тогда случайная величина X — число пораженных объектов — равна сумме величин Xi (i = 1, 2, …, n):

X = X1 + X2 + … + Xn.

Математическое ожидание числа пораженных объектов будет равно

Случайная величина Xi дискретного типа. Она принимает значение, равное единице, с вероятностью pi и значение, равное нулю, с вероятностью (1 2 pi). Поэтому

M[Xi] = 1·pi + 0· (1 2 pi) = pi,

а математическое ожидание числа пораженных объектов

При pi = const = p

M[X] = np.

Таким образом, математическое ожидание числа пораженных объектов равно сумме вероятностей поражения каждого объекта. В частном случае, когда вероятность поражения каждого объекта одинакова, математическое ожидание числа пораженных объектов равно произведению этой вероятности на число объектов (в этом случае число пораженных объектов имеет биномиальное распределение).

4. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс момент связи этих величин:

48

Если случайные величины X и Y некоррелированы, то момент связи Kxy равен нулю и

Для произвольного числа сомножителей математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

(10.6)

Теоремыодисперсиях

1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

2. Дисперсия произведения постоянной величины Cна случайную величину X равна произведению квадрата постоянной величины на дисперсию случайной величины:

. Дисперсия суммы двух случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий и удвоенного момента связи:

При произвольном числе слагаемых

(10.10)

а если они независимы (или хотя бы некоррелированы), то

(10.11)

Покажем применение теорем о числовых характеристиках для решения некоторых практических задач.

1. Математическое ожидание разности любой случайной величины и ее математического ожидания всегда равно нулю:

49

M[X 2 mx] = M[X] 2 M[mx] = mx 2 mx = 0.

Отметим, что разность X 2 mx обычно называют центрированной случайной величиной.

2. Применяя первые три теоремы о математических ожиданиях, можно доказать справедливость более простой формулы для вычисления дисперсии случайной величины:

Действительно,

. Используя третью и четвертую теоремы о математических ожиданиях, можно показать, что момент связи двух случайных величин

X = Z + U,

Y = Z + V,

где Z, U, и V — независимые случайные величины, равен дисперсии случайной величины Z (дисперсии их общей части):

Kxy = Dz.

4. Из второй теоремы о математических ожиданиях следует, что момент связи случайных величин

определяется равенством

(10.1 )

которое получается в результате преобразований исходного выражения для :

5. Согласно первой и третьей теоремам о дисперсии с учетом очевидного равенства Kxc = 0 имеем

50