Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Геометрически они изображаются семейством интегральных кривых. И эту совокупность решений называют общим решением дифференциального уравнения и записывают так: y = ϕ(x, C1, C2, …, Cn) [2, 22].

А решения, содержащие конкретные значения постоянных, называются частными решениями дифференциальных уравнений.

6.2.дифференциальныеуравнения1-гопорядка

6.2.1.Общеепонятие

Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию, ее производную и (или) дифференциал [2].

Его общий вид следующий:

F(x, y, y′) или .

Если это уравнение можно разделить относительно производной (y′), то оно примет вид:

y′ = f (x, y).

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:

y = ϕ(x, C).

Для того чтобы получить конкретные частные решения, надо задать начальные условия, т. е. указать пару соответствующих друг другу значений аргумента (х0) и функции (у0). Обычно это записывается так: [2, 22].

Задавая начальные условия, из семейства интегральных кривых выделяем какую-то конкретную кривую.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию существует, а также явля-

206

ется единственным, становится ясным из следующей теоремы: если в дифференциальном уравнении y′ = f (x, y) функция

y = f (x, y) и ее частная производная по y непрерыв-

ны в некоторой области D на плоскости х0у, содержащей точку (x0, y0), то существует единственное решение этого дифференциального уравнения y = ϕ(x,), удовлетворяющее условию при

х = х0 и у = у0 [22].

Приведенная теорема была впервые сформулирована и доказана Коши. Поэтому задачу нахождения частного решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

6.2.2.Дифференциальныеуравненияпервогопорядка сразделяющимисяпеременными

В общем случае такие уравнения имеют вид: f1(x)f2(y)dx +

+ f (x)f4(y)dy = 0.

Разделим обе части этого дифференциального уравнения на произведение f2(y)f (x), предполагая, что оно не равно нулю.

Далее получаем

В полученном дифференциальном уравнении при dx стоит только функция от х, а при dy стоит только функция от у, т. е. переменные разделены. Интегрируем левую и правую части последнего равенства и получаем:

Это и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения [2, 6].

Рассмотрим несколько конкретных задач.

207

Пример 6.1. Найдем частное решение дифференциального уравнения. xdx + ydy = 0, если начальное условие таково y|x=2 = 10.

ydy = −xdx, у2 + х2 = 2С1.

Так как постоянная может быть любой, то примем 2С1 = С2. Тогда получим общее решение исходного дифференциального уравнения у2 + х2 = С2.

С геометрической точки зрения это решение представляет собой семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (см. рисунок).

y

Найдем теперь частное решение для заданных начальных

условий, т. е. выделим из семейства окружностей одну. Полу-

чим 102 + 22 = С2 => С2 = 104,

Поэтому частное решение имеет вид: у2 + х2 = 104. Пример 6.2. Найдем общее решение дифференциального

уравнения:

1 + y′ + y + xy′ = 0.

208

Перепишем его в виде:

;

.

Правую и левую часть домножим на dx. (1 + y)dx + dy(1 + x) = 0.

Правую и левую части делим на (1 + х) ≠ 0:

Правую и левую части делим на (1 + y) ≠ 0:

;

Теперь интегрируем правую и левую части:

Окончательно получаем

Полученное выражение и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 6.3. Найдем общее решение дифференциального уравнения

2xyy′ = y2 − 1.

Перепишем его в виде

209

Домножим правую и левую часть на dx: 2xydy = (y2 − 1)dx.

Разделим правую и левую части на х ≠ 0:

Разделим правую и левую части на у2 − 1 ≠ 0:

Теперь проинтегрируем правую и левую части полученного выражения

ln |y2 − 1| = ln | xC |, y2 − 1 = xC,

Полученное уравнение и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 6.4. Найти частое решение дифференциального уравнения (x2 + 4)y′ − 2xy = 0, если задано следующее начальное условие y|x=1 = 5.

Перепишем исходное дифференциальное уравнение так:

Домножим правую и левую части на dx: (x2 + 4)dy − 2xydx = 0.

Разделим правую и левую части на х2 + 4:

Разделим правую и левую части на у ≠ 0:

210