Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

(5.2 )

при различных способах разбиении области В на площадки bi. Потребуем, чтобы максимальный диаметр площадок bi стремился к нулю (max diam bi → 0) при стремлении к бесконечности количества этих площадок (nk → `). Тогда будет справедлива следующая теорема, которую приводим без доказательства.

Теорема 5.4. Если функция z = f (x, y) непрерывна в замкнутой области В, то существует предел последовательности (5.2 ) интегральных сумм (5.22), если максимальный диаметр площадок bi → 0, а n → `. Этот предел будет одинаков для любой последовательности вида (5.2 ), т. е. он не зависит ни от способа разделения области В на площадки bi, ни от выбора в этих площадках точек Mi. Этот предел называется двойным интегралом от функции z = f (x, y) по области В и обозначается

т. е.

Область В называется областью интегрирования.

Если z = f (x, y) $ 0, двойной интеграл от этой функции по области В равен объему тела, ограниченного поверхностью z = f (x, y), плоскостью х0у и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 0z, а направляющей служит линия L.

Свойствадвойногоинтеграла

1) Если область В разбить на две части В1 и В2, то

Аналогично при разбиении области В на число частей больше двух.

196

2) Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от этих функций, т. е.

) Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла, т. е.

где с — постоянная величина.

Вычислениедвойногоинтеграла

1. Простейший случай.

Область В задана неравенствами a # x # b, c # y # d, т. е. она является прямоугольником ADBC (см. рис. 5.24).

В этом случаи двойной интеграл вычисляется по одной из приводимых ниже формул [2, 22]:

197

(5.24)

(5.25)

В правых частях формул (5.24) и (5.25) стоят повторные интегралы.

При вычислении по формуле (5.24) сначала находится оп-

постоянная, но результат интегрирования рассматривается как функция от у. Второе интегрирование в пределах от с до d выполняется по аргументу у. При использовании формулы (5.25) порядок действий обратный.

Двойной интеграл есть объем призматичес-

кого тела с основанием ADBC. Заметим, что внешние знаки интеграла соответствуют внешним дифференциалам.

Рассмотрим конкретные примеры. Вычислить интегралы:

Пример 5.37.

Пример 5.38.

198

, получаем

2. Общий случай.

а) Если контур области В встречается с любой пересекающей его вертикальной прямой не более чем в двух точках (т. N1 и т. N2 на рис. 5.25), то область В задается неравенствами a # x # b и w1(х) # y # w2(х),

y

y=2(x) B2

N2 B

A

N1 B1

y=1(x)

Рис. 5.25

где a и b — крайние абсциссы области В;

w1(х) и w2(х) — функции, выражающие ординаты нижней и верхней граничных линий AN1B1 и AN2B2.

199

В этом случае двойной интеграл находится по формуле

[2, 22]:

(5.26)

б) Если контур области В встречается не более чем в двух точках с любой пересекающей его горизонтальной прямой, то аналогично случаю а) получаем (см. рис. 5.26).

B

x=1(y)

cC

Рис. 5.26

(5.27)

Если контур области В не подходит ни под случай а), ни под случай б), то ее разбивают на несколько частей так, чтобы к каждой части были применимы или формула (5.26) или (5.27).

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 5.39.

ничена линиями у = х2, у2 = х (см. рис. 5.27). Данная задача подходит под случаи а) и б).

200