Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev
1
2=
=
2
0 |
1 |
Рис. 5.27
Используем, например, формулу (5.26) (случай а). В данном случае а = 0, b = 1, w1(х) = х2, 
. Поэтому получим:
Задачидлясамостоятельногорешения
1. Методом непосредственного интегрирования найти интегралы:
1.1. 
1.2. 
1. . 
1.4.
201
2. Найти интегралы, использовав метод замены переменной:
2.1. |
|
2.2. |
2. . |
2.4. |
|
. Найти интегралы, использовав метод интегрирования по |
||
частям: |
|
|
.1. |
.2. |
|
. . |
.4. |
|
4. Вычислить определенные интегралы: |
||
4.1. |
4.2. |
4. . |
4.4.4.5. 
4.6. 4.7. 4.8.
5. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
5.1. |
5.2. |
5. . |
5.4. |
6.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной функцией ху=4 и прямыми х = 1, х = 4 и осью 0х.
7.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0у
криволинейной трапеции, ограниченной функцией |
и |
прямыми у = ±2b. |
|
202
8.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной линиями 2у2 = х , х = 4.
9.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х , х = 0,
у= 8.
10.Фигура, ограниченная одной дугой синусоиды у = sin x и осью 0х, вращается вокруг оси 0х. Найти объем тела вращения.
11.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х , прямой у = 10 и осью 0у.
12.Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
12.1.у = х2, у2 = х; 12.2. у = ln x, x = e, y = 0;
12. . y = x2, y = 1; 12.4. y = x2, y = 2x2 – 1
1 . Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 = х , отсекаемой прямой х = 5.
14.Найти длину дуги кривой 
от х = 0 до х = 1.
15.Найти длину дуги кривой 
от у = 0 до у = .
16.Определите длину окружности х2 + у2 = 25.
17.Используя формулу прямоугольников, вычислить ин-
теграл |
, приняв n = 10. |
|
18. |
Используя формулу трапеции, вычислить |
интеграл |
, приняв n = 10. |
|
|
19. |
Используя формулу Симпсона вычислить |
интеграл |
,приняв n = 10.
20.Вычислить двойные интегралы:
20.1.
20.2.
20
21. Вычислить интеграл 
, если область интег-
рирования В ограничена линиями:
21.1.х = 2, х = , у = -1, у = 5;
21.2.х = 0, х = 5, у = -2, у = 2.
вопросыдлясамопроверки
1.Какая функция называется первообразной?
2.В чем состоит суть метода интегрирования по частям?. В чем состоит суть метода замены переменной?
4.Каков геометрический смысл определенного интеграла?
5.В чем состоит суть метода замены переменной в опреде-
ленном интеграле?
6.Вывести формулу для объема тела вращения.
7.В каких случаях применяют приближенные методы интегрирования?
8.В чем заключается суть признаков сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами?
9.В чем состоит теорема существования двойного интег-
рала?
204
6.некОтОрыесведенияОдиФФеренциальных уравнениях
6.1.Основныепонятияиопределения
Дифференциальными называются уравнения, которые содержат искомые функции, их производные и (или) дифференциалы различных порядков, независимые переменные [22].
Теория дифференциальных уравнений появилась в конце XVIII в. в результате решения некоторых задач механики и физики. Термин дифференциальные уравнения ввел Г. Лейбниц.
Дифференциальные уравнения подразделяются на дифференциальные уравнения в частных производных, неизвестная функция в которых зависит от двух и большего количества неизвестных, и на обыкновенные дифференциальные уравнения, неизвестная функция в которых зависит от одного аргумента.
В данном учебнике кратко рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения следующий [2, 22]:
F(x, y, y′, y″, …, y(n)) = 0
или
Наивысший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение, называется его порядком.
Например, 
это дифференциальное уравнение второго порядка.
Решить дифференциальное уравнение — это значит найти такую функцию, подстановка которой в это дифференциальное уравнение превращает его в тождество [16].
205