Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Приведем конкретный пример вычисления определенного интеграла по формуле (5.20)

Пример 5.35.

Используя метод трапеции приближенно вычислим интег-

рал , приняв n = 10. Этот интеграл, как и интеграл пре-

дыдущего примера, является неберущимся. В данном случае

.

Теперь по формуле (5.20) получаем

в) Формула парабол (формула симпсона).

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x). Разделим [a, b] на четное число частей n = 2m. Сущность способа заключается в том, что отрезки прямых, ограничивающих элементарные трапеции сверху, заменяют дугами парабол, оси которых параллельны оси 0у (см. рис. 5.21).

Уравнения таких парабол имеет вид y = cx2 + dx + p. Коэффициенты c, d, p можно однозначно найти по трем точкам, если абсциссы их различны. Дуги парабол проводят через каждую тройку точек. Криволинейную трапецию aABb заменяют суммой площадей криволинейных трапеций, ограниченных дугами парабол. Площадь первой из таких параболических трапеций равна

191

Рис. 5.21

площадь второй равна: и т. д. Искомая формула Симпсона имеет вид [1, 16]:

(5.21)

Формула оценки погрешности, получающейся при приближенном вычислении интеграла, в этом случае имеет вид [9]:

где

Применение формулы (5.21) значительно повышает точность вычисления определенного интеграла. Метод прямоугольников является наиболее простым и наименее точным способом. Выбор способа приближенного интегрирования зависит от подынтегральной функции и требуемой точности расчета.

Приведем конкретный пример вычисления определенного интеграла по формуле (5.21).

192

Пример 5.36.

Используя формулу Симпсона приближенно вычислим

как и интегралы из двух предшествующих примеров, является неберущимся. В данном случае ;

По формуле (5.21) получим:

19

5.6.Понятиеодвойноминтеграле

Понятие двойного интеграла является расширением понятия определенного интеграла на случай двух аргументов.

На плоскости х0у рассмотрим замкнутую область В (область В называется замкнутой, если она ограничена линией и точки, которые лежат на границе, считаются принадлежащими области В), ограниченную линией L. В этой области зададим непрерывную функцию z = f (x, y). Область В произвольно разобьем на n частей (площадок): b1, b2, b3, …, bn. Площади этих частей (площадок) обозначим DS1, D S2, …, D Sn. В каждой площадке bi возьмем произвольную точку Mi (эта точка может лежать и на границе площадки). Таким образом, будем иметь n точек: М1, М2, …, Мn (см. рис. 5.22).

B вся область

i

0

Рис. 5.22

Через f (M1), f (M2), …, f (Mn) обозначим значения функции z = f (x, y) в выбранных нами точках. Затем составим сумму произведений f (Mi)DSi, которую обозначим Vs:

194

195