Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

5.4.2.Нахождениедлиныдугикривой

Пусть в плоскости х0у уравнением y = f (x) задана кривая линия. Вычислим длину дуги АВ этой кривой, заключенной между прямыми х = а и х = b (см. рис. 5.14).

A

Рис. 5.14

На дуге АВ возьмем точки А, А1, А2, …, В с абсциссами х0 = а, х1, х2, …, b = хn. Проведем хорды АА1, А1А2, …, Аn-1В, длины

181

которых соответственно обозначим Dl1, Dl2, …, Dln. В результате получим ломаную линию А, А1 А2 … Аn-1 В, которая вписана в

дуги АВ называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится

кнулю, т. е.

Вкурсах математического анализа доказывается (см., например, [2, 20]), что если на отрезке [a, b] функция f (x) и ее производная f’(x) непрерывны, то этот предел существует и длина дуги АВ находится по формуле

Сначала построим график исходной функции и найдем а и b (см. рис. 5.15)

y = x.

Находим а и b.

182

Найдем

Получившийся определенный интеграл можно брать несколькими способами, например, подстановкой x = shy (где

— гиперболический синус) или методом интегри-

рования по частям, которым мы и воспользуемся. Напомним, что формула интегрирования по частям имеет вид:

В нашем случае имеем

Тогда получим:

таблицы интегралов раздела 5.1). Он равен

18

В нашем случае получаем

.

Поэтому l1 примет вид:

окончательно получаем

.

5.4.3.Объемтелавращения

Рассмотрим тело, которое образовано вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции aABb, ограниченной функцией y = f (x), осью 0х и прямыми x = a и x = b (рис. 5.16).

Разобьем полученное тело на слои с помощью секущихся плоскостей, перпендикулярных к оси 0х и пересекающих ее в точках x0 = a, x1, …, xn-1, xn = b. Каждый слой заменим прямым цилиндром. Объем каждого из этих цилиндров будет равен Vi = = py2i-1 Dxi, [в данном случае поперечные сечения с абсциссами x0 = a, x1, …, xn-1, xn = b есть окружности].

Поэтому объем n-ступенчатого тела будет равен:

Переходим к пределу при n → ` и при стремлении max Dxi → 0 и получаем искомый объем тела вращения [2]:

(5.14)

184

y

B

y=f(x)

A

Рис. 5.16

В том случая, если тело образовано вращением вокруг оси 0у криволинейной трапеции cCDd, ограниченной функцией х = w(у) и прямыми у = с, у = d (рис. 5.17), то его объем находится по формуле

(5.15)

Теперь рассмотрим конкретный пример.

Пример 5.33.

Найдем объем двухосного эллипсоида вращения, канони-

ческое уравнение которого имеет вид , где а и b —

большая и малая полуоси соответственно (одной из моделей Земли как раз и является двухосный эллипсоид вращения, в

185