Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Пусть b неограниченно возрастает, тогда есть две возмож-

теграл предела не имеет, а это означает, что он или стремится к бесконечности, или колеблется, т. е. не стремится ни к какому пределу.

Теперь дадим определение несобственного интеграла. Несобственным интегралом от функции f (x) в интервале

Если предел (5.12) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходя-

щимся [2, 22].

Если первообразная функция F(x) для подынтегральной функции f (x) известна, то можно определить, сходится несобственный интеграл или нет. Используем формулу НьютонаЛейбница и получим:

Поэтому если предел первообразной F(x) при x →` существует, то несобственный интеграл сходится, а если предел не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл в интервале (-`; b):

Если функция f(x) определена и непрерывна в интервале (-`; +`), то получим

171

Если оба интеграла в правой части последнего выражения сходятся, то интеграл сходится, а если хотя бы один из

них расходится, то и расходится [2, 22].

Если известна первообразная F(x), то

Сходящиеся несобственные интегралы имеют определенный геометрический смысл. Например, график функции y = f(x) ограничивает криволинейную трапецию с бесконечным основанием (см. рис. 5.4).

y f(x)

y

штрихованная фигура имеет площадь, которая равна этому интегралу. А если интеграл расходится, то говорить о площади фигуры нельзя.

Теперь приведем конкретные примеры решения несобственных интегралов.

172

Пример 5.25.

Вычислим

[Делаем замену переменной Затем меняем пределы интегрирования y(0) = 0; y(`) = -`.] Тогда получим

Величина не стремится к определенному

пределу при b → ` (колеблется).

Пример 5.28.

т. е. данный интеграл расходится.

Часто важно знать не конкретное значение несобственного интеграла, а сходится он или расходится. Для этого используются признаки сравнения, которые мы и приводим.

1. Если для ;x(x$a) выполняется неравенство 0 #f(x) #w(x)

17

Например, проверим сходится ли интеграл

При х $ 1,

Теперь рассмотрим сходится ли несобственный интеграл:

т. е. данный интеграл сходится. Поэтому по признаку 1 сходится и его значения меньше 1.

2.Еслидля;x(x$a)выполняетсянеравенство0#w(x)#f(x), причем расходится, то расходится и

Например, проверим сходимость интеграла

Очевидно, что Теперь рассмотрим сходится ли несобственный интеграл

т. е. данный интеграл расходится. Поэтому по признаку 2 расходится

174

дится и интеграл . Последний интеграл в этом случае

называется абсолютно сходящимся.

В качестве примера проверим сходимость интеграла

несобственный интеграл

т. е. данный интеграл сходится. Поэтому по признаку 1 сходится

а, следовательно, по признаку сходится и интеграл

При использовании признаков сравнения надо иметь запас функций, несобственные интегралы от которых или сходятся, или расходятся и результат этот нам известен заранее. Эти функции мы будем использовать в качестве w(х).

5.4.некоторыеприложенияопределенногоинтеграла

5.4.1.Вычислениеплощадейплоскихфигур

Так как определенный интеграл от непрерывной неотрицательнойфункцииравенплощадисоответствующейкриволинейной трапеции, а площадь любой плоской фигуры можно представить как сумму и (или) разность площадей криволинейных

175