Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Рис. 5.3

7. Если в каждой точке х отрезка [a, b] c(x) # f (x) # w (x), то

a < b.

8. Внутри интервала интегрирования [a, b] есть хотя бы одно значение х = А, для которого выполняется следующее равенство

ФормулаНьютона—Лейбница

Приведем без доказательства формулировку теоремы. Теорема 5.3. Значение определенного интеграла равно

разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интегриро-

вания [2, 22], т. е.

(5.10)

166

Или иначе, значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.

Формула (5.10) дает удобный способ вычисления определенных интегралов, если известна первообразная подынтегральной функции, т. е. необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции и подставить в нее пределы интегрирования.

Приведем конкретные примеры.

Пример 5.17.

Пример 5.18.

Пример 5.19.

[Заметим, что d(x + 5) = dx]

167

Методинтегрированияпочастямвопределенноминтеграле

Формула интегрирования по частям в этом случае будет иметь вид:

(5.11)

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 5.20.

Пример 5.21.

168

Методзаменыпеременнойвопределенноминтеграле

Вычисление определенного интеграла методом замены переменной проводится так же, как и при нахождении неопределенного интеграла, за исключением того, что в данном случае нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной. Но надо помнить, что, заменяя переменную под знаком интеграла, надо менять и пределы интегрирования.

Решим конкретные примеры.

Пример 5.22.

[Заметим, что d(x2 + 8) = 2xdx] = .

Делаем замену переменной, обозначим y = x2+8. Теперь необходимо поменять пределы интегрирования:

и окончательно получаем:

Пример 5.23.

[Заметим, что d(1 + x2) = 2xdx]

Теперь заменяем переменную и пределы интегрирования t = 1 + x2;

и окончательно получаем:

169

Пример 5.24.

[Заметим, что ]

Теперь делаем замену переменной и меняем пределы интегрирования tg x = t; в результате получаем:

5.3.некоторыесведенияонесобственныхинтегралах

Распространим понятие определенного интеграла на случай бесконечного интервала интегрирования.

Предположим, что функция y = f (x) непрерывна на интервале [a, +`). Тогда можно найти интеграл от функции f (x), который взят по любому интервалу [a, b], где b > a.

надо принять в качестве интеграла от функции f (x) в интервале [a, +`), чем больше b.

170