Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev
на который всегда можно умножить или разделить подынтегральное выражение).
Метод замены переменной основан на следующей теореме. Пусть некоторая функция w(t) = x определена и дифференцируема на некотором промежутке [a, b], пусть X — множество значений этой функции, на котором определена функция f (x). Тогда, если на множестве Х функция f (x) имеет первообразную, то на отрезке [a, b] справедлива формула
. (5. )
В некоторых случаях лучше использовать замену пе-
ременной не в виде x = w (t), а t = c (x) [2, 16, 22].
Приведем конкретные примеры.
Пример 5.9.
Найти 
[Можно разложить подынтегральную функцию, используя бином Ньютона, но это будет слишком длинно, поэтому де-
лаем замену переменной: |
поэтому полу- |
чим]
= [Или, возвращаясь к первоначальной переменной х, имеем]
Пример 5.10.
[Теперь делаем замену переменной
[Возвращаем переменную х и получаем]
156
Пример 5.11.
=[Теперь делаем замену переменной
[Возвращаем переменную х и получаем]
Пример 5.12.
[Заметим, что
= [Делаем замену переменной y = x + 7]
[Возвращаем переменную х и получаем]
Пример 5.13.
[Заметим, что 
[Теперь делаем замену переменной 
157
[Возвращаем переменную х]
Пример 5.14.
[Заметим, что 
]
[Теперь делаем замену переменной t = sin2 x]
[Возвращаем переменную х]
Интегрированиерациональныхдробей
ЛюбаярациональнаяфункцияR(x)можетбытьпредставле-
на в виде дроби, т. е. |
где P(x) и Q(x) — многочлены. |
Если степень числителя (m) больше или равна степени знаменателя (n), то, разделив P(x) на Q(x), получим многочлен P1(x) и в остатке многочлен P2(x) не выше (n – 1) степени, т. е.
Интегрирование P1(x) проходит без проблем.
Надо проинтегрировать правильную рациональную дробь,
степень числителя которой меньше степени знаменателя |
. |
||
можно представить в виде суммы простейших дробей |
|||
двух видов |
где Ai, Bi, Ci |
— постоянные [2, |
|
20, 22]. |
|
|
|
Каждому множителю (x – a)k в представлении знаменате- |
|||
ля Q(x) соответствует в разложении дроби |
на слагаемые |
||
сумма k простейших дробей вида: |
|
|
|
158
Каждому множителю (x2 + px + q)t соответствует сумма t простейших дробей вида:
Имеет место следующее разложение дроби |
на слага- |
емые [2, 22]: |
|
(5.4)
Пример 5.15.
[Делаем замену переменной, обозначив 
тогда получим
Дробь 
— правильная рациональная дробь; раз-
ложим ее на простейшие дроби (см. 5.4)
где А и В неизвестные коэффициенты, которые необходимо найти. Освобождаясь от знаменателя, имеем:
1 = A(y + 1) + B(y – 1); 1 = Ay + A + By – B.
Приравнивая коэффициенты при y и y0, получим систему уравнений для определения А и В.
159
и 
Тогда получим:
и искомый интеграл примет вид:
[Заметим, что d(y + 1) = dy и d(y – 1) = dy]
[Возвратим переменную ex]
Интегрированиетригонометрическихфункций
Интеграл вида 
с помощью подставки 
можно преобразовать в интеграл от рациональной функции [2, 22]. Используются следующие тригонометрические формулы:
Изравенстваx=2arctguимеем
.Врезультатеука-
занной подстановке исходный интеграл преобразуется к виду
т. е. подынтегральная функция рациональна относительно u.
160