Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

6.Найти производную функции в точке А (0, -1, 2, 4, - ).

7.Найти наибольшую скорость возрастания функции

в точке А (-2, -1, , 0, 4).

вопросыдлясамопроверки

1.Дать определение производной функции y = f (x).

2.Каковы геометрический и механический смыслы производной?

. Как найти производную сложной функции?

4.Дать определение дифференциала функции y = f (x).

5.Какой геометрический смысл имеет дифференциал?

6.Что называется производной второго порядка от функ-

ции y = f (x)?

7.В чем состоит достаточный признак экстремума?

8.Какие точки называются точками перегиба функции y = f (x)?

9.Что называется асимптотой функции y = f (x)?

10.Сформулировать правило Лопиталя и привести примеры его применения.

11.Что называется функцией двух независимых перемен-

ных?

12.Что называется графиком функции двух независимых переменных?

1 . Что называется пределом функции Z = f (x, y) при x → x0 и y → y0.

14.Дать определение частных производных функции двух независимых аргументов.

15.Дать определение градиента

16.Как можно выразить производную по направлению через градиент?

146

5.ЭлеМентыинтегральнОгОисчисления

Интегральное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их применение.

Интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Например, с его помощью находится скорость тела по заданному ускорению.

5.1.Первообразнаяинеопределенныйинтеграл

Первообразной от функции y = f (x) на некотором промежутке называется функция F (x), производная которой равна исходной функции, т. е. F (x) = f (x). Из этого определения следует, что любая функция по отношению к своей производной является первообразной [2, 16].

Рассмотрим пример y = x5. Данная функция служит произ-

Из данного примера видно, что любая функция будет первообразной для функцией y = x5.

Теперь приведем формулировку основной теоремы о первообразных.

Теорема 5.1. Любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, причем любые две из них друг от друга отличаются постоянным слагаемым [2, 22].

Формула F(x) + C исчерпывает множество всех первообразных исходной функции. Геометрически выражение F(x)+C есть семейство кривых (рис. 5.1.), каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых вдоль оси 0у.

Заметим, что первообразную можно находить не только по производной, но и по дифференциалу.

Теперь дадим определение неопределенного интеграла.

147

0

Рис. 5.1

Отыскание первообразных называется неопределенным интегрированием, а выражение, охватывающие совокупность всех первообразных от данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается так:

где f(x) — подынтегральная функция;

f(x) dx — подынтегральное выражение; х — переменная интегрирования.

Заметим, что f (x) на участке интегрирования должна быть непрерывна;

— знак интеграла.

Таким образом, неопределенный интеграл есть семейство функций F(x) + C, т. е.

[2, 6].

Нахождение всех первообразных для данной функции f (x) и называется неопределенным интегрированием. Термин “неопределенное интегрирование” появился, потому что не указывается, какая первообразная имеется в виду.

148

Сразу скажем, что интегрирование значительно сложнее дифференцирования. Дифференцирование любых элементарныхфункцийпроизводитсяпоопределеннымправилам,аинтегрирование требует в каждом конкретном случае индивидуального подхода. Разумеется, есть общие методы интегрирования, некоторые мы рассмотрим далее. Заметим, что производная от любой элементарной функции есть функция элементарная, а про неопределенный интеграл от элементарной функции этого сказать нельзя. Первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. Про такие функции говорят, что они не интегрируемы в элементарных функциях. Примерами так называемых неберущихся интегралов являются:

и др.

Из определения неопределенного интеграла следует, что

(5.1)

Найдем неопределенные интегралы от основных элементарных функций, используя для этого таблицу производных от основных элементарных функций (см. главу 4 “Основы дифференциального исчисления”).

Например, (sin x) = cos x. Перепишем это равенство в виде

Проинтегрируем обе части последнего равенства и с учетом третьей формулы (5.1) получим

149

Это и есть табличный интеграл.

Точно так же получают и другие табличные интегралы от основных элементарных функций.

Приведем таблицу интегралов от основных элементарных функций. Справедливость приведенных формул легко проверить дифференцированием.

Таблицанеопределенныхинтегралов

1) n -1;

2) ) 4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Добавим формулы интегрирования гиперболических и обратных гиперболических функций.

12)

150