Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Рис. 4.9

используя приведенный признак (найдем производную данной функции, приравняем ее к нулю и найдем координаты экстремума, если он существует).

y = x2; — экстремум данной функции в

соответствии с необходимым признаком.

Но из графика функции y = x (рис. 4.10) следует, что экстремума в точке с координатами х = 0, у = 0 у данной функции нет.

Рис. 4.10

1 6

Сформулируем теперь достаточный признак экстремума: точка (т. А, т. В, т. С, т. D на рис. 4.9) есть точка экстремума функции y = f (x), если производная этой функции y = f (x) при переходе х через критическую точку (точку, где производная равна нулю или не существует) меняет знак. Если знак меняется с плюса на минус (т. А, т. С на рис. 4.9), то имеем локальный максимум, а если знак меняется с минуса на плюс (т. В, т. D на рис 4.9), то имеем локальный минимум.

Заметим, что функция y = f (x) должна быть непрерывна на интервале, содержащем критическую точку.

Пример 4.23. Производная функции

меняет знак при переходе через точку х = 0, но экстремума в ней не имеет, так как в этой точке она разрывна [2].

Вернемся к примеру 4.22 и проверим, удовлетворяется ли там достаточный признак экстремума (рис. 4.11).

Рис. 4.11

Из рисунка видно, что производная функции y = x не меняет знака при переходе х через точку х = 0, поэтому данная функция не имеет экстремума в точке с координатами х = 0, у = 0.

Пример 4.24. Рассмотрим функцию y = x + 6x2 - x + 2.

y = 9x2 + 12x - 1 9x2 + 12x - 1 = 0

x1 0,06;x2 -1,4

y = 9(x - 0,06)(x + 1,4)

Применяя достаточный признак экстремума находим, что в точке х = -1,4 — максимум, а в точке х = 0,06 — минимум

(рис. 4.12).

1 7

Рис. 4.12

Точки экстремума можно находить и с помощью второй производной. Для этого сформулируем второй достаточный признак экстремума: некоторая точка с координатами x0, y0 будет точкой экстремума функции y = f(x), если f (x0) = 0, а f 0(x0) 0, при этом, если f 0(x0) > 0, то данная точка будет точкой минимума функции y = f (x), а если f 0(x0) < 0 — точкой максимума; в том случае если f 0(x0) = 0 данный признак не применим [2, 16].

Используем приведенный признак для нахождения экстремумов функции y = x + 6x2 – x + 2 из примера 4.24.

y0 = 18x + 12.

y0(x = 0,06) = 18 · 0,06 + 12 1 ,1. y0(x = -1,4) = 18 · (-1,4) + 12 -1 ,2.

Следовательно, в точке х = 0,06 исходная функция будет иметь минимум, а в точке х = -1,4 — максимум.

Теперь покажем, как применять вторую производную для нахождения участков выпуклости и вогнутости функции и ее точек перегиба.

Сначала приведем соответствующие определения. График дифференцируемой функции y = f (x) называется

вогнутым вверх (в положительном направлении оси ординат) на некотором интервале, если на этом интервале он расположен выше касательной, проведенной к любой точке графика в этом интервале (рис. 4.1 ).

График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым вверх (в положительном направлении оси ординат) на некотором интервале, если на этом интервале он расположен ниже касательной, проведенной к любой точке графика в этом интервале (рис. 4.14).

Точки, отделяющие участки выпуклости функции от участков ее вогнутости (и наоборот), называются точками перегиба.

1 8

Рис. 4.13

Рис. 4.14.

Теперь сформулируем теорему.

Теорема 4.5. Если вторая производная функции y = f (x) всюду на некотором интервале меньше нуля, то функция y = f (x) на этом интервале — выпуклая; если вторая производная функции y = f (x) всюду на некотором интервале больше нуля, то функция y = f (x) на этом интервале — вогнутая [2, 16, 20].

Приведем также необходимый признак существования точки перегиба: если точка с координатами x0, y0 является точкой перегиба функции y = f (x), то вторая производная данной функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует [2, 16].

1 9

Недостаточность данного признака мы проиллюстрируем примером.

Пример 4.25. Рассмотрим функцию y = x4. Воспользовавшись приведенным выше признаком, проверим, есть ли у этой функции точки перегиба.

y = 4x ; y0 = 12x2

должна быть точкой перегиба по необхо-

димому признаку, но если взглянуть на график этой функции (рис. 4.15) видно, что в данной точке перегиба нет.

Поэтому сформулируем достаточный признак сущест-

ва — участок вогнутости, а если знак меняется с плюса на минус, то наоборот [2, 16].

Применим данный признак к функции из примера 4.25. Из рис. 4.16 видно, что достаточный признак не выполняет-

ся, поэтому в точке с координатами х = 0, у = 0 перегиба нет.

Рис. 4.16

Теперь применим достаточный признак существования точки перегиба к функции из примера 4.24.

В данном случае (рис. 4.17) достаточный признак свиде-

140