Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Рис. 4.17

y0 = 18x + 12; 18x + 12 = 0;

Теперь приведем схему, по которой удобно проводить исследование функций [2]:

1.Нахождение области определения функции, точек ее разрыва, интервалов ее непрерывности и вертикальных асимптот.

2.Проверка функции на четность, нечетность, периодич-

ность.

. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат (если это не требует больших вычислительных затрат).

4.Нахождение интервалов монотонности и точек экстремума функции.

5.Нахождение участков выпуклости, вогнутости функции

иточек ее перегиба.

6.Нахождение наклонных асимптот.

7.Построение графика функции по результатам проведенного исследования.

Пример 4.26.

Теперь в соответствии с приведенной схемой исследуем функцию .

Данная функция определена на всей оси 0х за исключением точки х = 2, т. е. x [ (-`; 2) < (2; +`). Прямая х = 2 является вертикальной асимптотой данной функции, так как

141

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периоди-

ческой, так как f (-x) f (x), f (-x) -f (x), f (x + T) f (x), где

Т — период, а график данной функции проходит через начало координат.

Теперь найдем первую производную исходной функции и найдем участки монотонности и экстремумы.

x2 - 4x = 0; x(x - 4) = 0; x = 0; x = 4.

Точку х = 2, где не существует первой производной исходной функции, на экстремум можно не проверять, так как в этой точке сама функция имеет бесконечный разрыв.

Следовательно (рис. 4.18), в соответствии с достаточным признаком экстремума данная функция имеет максимум в точке с координатами х = 0, у = 0 и минимум в точке с координата-

ми х = 4, у = 8.

Рис. 4.18

Теперь найдем вторую производную и определим участки вогнутости, выпуклости и точки перегиба, используя теорему 4.5 и достаточный признак существования точки перегиба

Таким образом вторая производная нигде не обращается в ноль, следовательно, данная функция не имеет точек переги-

142

ба. Надо только проверить, меняет ли вторая производная исходной функции знак при переходе х через точку бесконечного разрыва х = 2 (второй производной заданной функции также не существует в точке х = +2).

Поэтому (рис. 4.19) слева от точки х = 2 исходная функция будет выпуклой, а справа от точки х = 2 — вогнутой.

Рис. 4.19

Теперь проверим, имеет ли исходная функция наклонные асимптоты, для этого воспользуемся формулами (4.12) и (4.1 ) (так как заданная функция является дробно-рациональной, можно рассматривать произвольное стремление х к бесконечности).

Поэтому прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой исходной функции.

Теперь по результатам проведенного исследования построим график заданной функции (рис. 4.20).

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Найти производные следующих функций: 1.1. ;

14

Рис. 4.20

1.2. 1. .

1.4.

1.5.

1.6. 2. Найти вторые производные следующих функций:

2.1.y = 6x4 + 4sin x;

2.2.y = e7x · tg 5x;

144

2. .

2.4. y = 5x8 – 16x5 + sin 2x

. Исследовать функции и построить их графики:.1. y = 2x4 – 8x2 + ;

.2.

. . y = 2x2 – 10;

.4. y = 2x – 9x2 + 15x – 6;.5. y = x – x ;

.6.

4. Найти и , если функция Z имеет вид:

4.1.Z = x · sin2 y;

4.2.Z = xy;

4. .

4.4 Z = tg2 (x y) · 22x+ ; 4.5. Z = arctg (x4 + 5y6);

4.7. 5. Используя правило Лопиталя, найти пределы функций:

5.1. 5.2. 5. . 5.4. 5.5. 5.6.

145