Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Если |x| # 1, то взяв n = 8, найдем оценку остаточного члена

. А если х = 1, то получим формулу для приближенного вычисления числа е [22], т. е.

Здесь верны первые четыре знака после запятой, так как ошибка не превосходит числа или 10-5. Заметим, что какое бы ни было х, остаточный член при n → `,

т. е. . Поэтому при ;x, взяв достаточное число членов

разложения, по формуле (4.6) получим ex с любой необходимой степенью точности.

4.3.2.ПравилоЛопиталя

Данное правило помогает раскрывать неопределенности вида: его суть выражается теоремой [2, 20, 22].

Теорема 4.4 Лопиталя. Пусть функции f (x) и w (x) при x → x0 или x → ` совместно стремятся к нулю или к бесконечности. Если отношение производных этих функций имеет предел, то отношение самих функций тоже имеет предел, который равен пределу отношения производных, т. е.

(4.7)

(4.8)

Теперь рассмотрим конкретные примеры применения этого правила [4, 2 ].

Пример 4.10.

126

Ранее мы сводили этот предел ко второму замечательному пределу и пользовались тем, что ln x является непрерывной функцией. Заметим, что простота взятия данного предела кажущаяся, так как дифференцирование функций само опирается на знание пределов [2].

Пример 4.11.

Пример 4.12.

Пример 4.13.

Заметим, что если производные числителя и знаменателя одновременно стремятся к нулю или к бесконечности можно применять правило Лопиталя еще раз, а в случае необходимости и далее.

Пример 4.14.

Пример 4.15.

127

Формулы (4.7) и (4.8) справедливы только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный или бесконечный), существует. Приведем пример, когда отношение функций имеет предел, а отношение их производных не стремится ни к какому пределу.

Пример 4.16.

А предел производных равен:

При x → ` этот предел колеблется между 0 и 2 и поэтому не имеет предела. То есть к данному примеру правило Лопиталя применить нельзя, оно не является универсальным.

При помощи правила Лопиталя можно раскрывать другие неопределенности, например:

Эти случаи сводятся к рассмотренным нами неопределен-

ностям .

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 4.17.

исходный предел к случаю .

Теперь можно применить правило Лопиталя

128

Пример 4.18.

т. е., имеем случай ` – `. Исходный предел преобразуем к виду

т. е. мы пришли к случаю , поэтому применяем правило Лопиталя

Пример 4.19.

, т. е., имеем случай 1`. Рассмотрим предел

, а это случай , поэтому к последнему пределу применимо правило Лопиталя.

пришли к случаю . Теперь к последнему примеру применяем правило Лопиталя

129

Поэтому исходный предел равен

4.3.3.Асимптоты

Прямая L называется асимптотой графика функции y = f (x), если расстояние d от переменной точки А функции до этой прямой при удалении точки А в бесконечность стремится к нулю (рис. 4.5) [2, 6, 22].

Рис. 4.5

Различают вертикальные асимптоты (параллельные оси 0у) и наклонные.

Сначала рассмотрим вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если

, или , или ,

то прямая x = x0 является асимптотой функции y = f (x) и наоборот, если прямая x = x0 есть асимптота кривой y = f (x), то существуют указанные выше пределы.

То есть для нахождения вертикальных асимптот надо найти такие значения x = x0, при приближении к которым фун-

1 0