Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Пример 4.8.

Z = sin (x y2)·ln ( y + x2).

Производнаяпонаправлениюиградиент

Предположим, что в каждой точке А некоторой области D задано значение скалярной физической величины W (температура, давление, влажность и т. п.). Тогда W называется скалярной функцией точки и записывается так W = W(A). Если в области D задана скалярная функция точки W(A), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Если скалярное поле не зависит от времени, оно называется стационарным. В противном случае поле будет нестационарным, т. е. будет зависеть не только от точки А, но и от времени t.

Производнаяпонаправлению

В гиперпространстве, в котором задано поле W = W(x1, x2, …, xn) возьмем точку А(x1, x2, …, xn) и найдем скорость изменения функции при движении точки А в направлении некоторого вектора . Этот вектор начинается в точке А, а углы между ним и координатными осями Х1, Х2, …, Хn (направляющие коси-

нусы) равны: cos w1, cos w2, …, cos wn.

Приращение DW, получаемое при переходе от точки А в точку А1, по направлению равно:

121

DW = W(x1 + Dx1, x2 + Dx2, …, xn + Dxn) - W(x1, x2, …, xn).

Тогда

Производной от функции W(x1, x2, …, xn) в точке А(x1, x2, …, xn) по направлению называется предел

То есть производная характеризует скорость изменения функции по данному направлению.

В курсах математического анализа доказывается (см., например, [2]), что

Пример 4.9. Найти производную функции

в т. A(0, 1, 2, 1) по направлению к т. A1(2, 0, 1, )

Находим направляющие косинусы вектора :

cos w1 = 0,6 2; cos w2 = -0, 16; cos w = -0, 16; cos w4 = 0,6 2.

Далее определяем частные производные исходной функции W и их значения в точке А, т. е.

Затем вычисляем искомую производную по направлению

Знак минус говорит о том, что функция в заданном направлении убывает. Вектор, координатами которого являются зна-

122

чения частных производных функции W(x1, x2, …, xn) в точке А(x1, x2, …, xn), называют градиентом функции и обозначают grad W, т. е.

или

Теперь формулу для производной по направлению можно переписать в виде скалярного произведения grad W на единич-

ный вектор = (cos w1, cos w2, …, cos wn), т. е.

или

где — угол между вектором grad W и направлением .

Из последней формулы видно, что dW / d достигает своего максимального значения в том случае, когда = 0. Поэтому направление градиента совпадает с направлением вдоль которого функция меняется быстрее всего, т. е. grad W показывает направление скорейшего возрастания функции. А наибольшая скорость изменения функции W в точке А равна:

Пример. Найти наибольшую скорость возрастания функ-

ции в точке А(1, 2, -1, ).

Вначале находим частные производные

Затем получаем

и вычисляем и, наконец, находим наибольшую скорость возрастания функции

|grad W(A)| = 109,2.

12

4.3.некоторыеприложениядифференциальногоисчисления

4.3.1.ФормулаТейлора

Пусть некоторая функция y = f(x) имеет все производные до (n + 1)-го порядка включительно на некотором интервале, включающем точку x0. Найдем многочлен y = Pn(x) степени не выше n, значение которого в точке x = x0 равно значению функции y = f(x) в этой точке, а значение его производных до n-го порядка в точке x = x0 равны значениям соответствующих производных от функции y = f(x) в этой точке, т. е.

(4.1)

Искомый многочлен (более подробно см., например, [20,22]) будет иметь вид:

(4.2)

Через Rn(x) обозначим разность значений данной функции y = f(x)и многочлена, находимого по формуле (4.2), т. е. Rn(x) =

= f(x) – Pn(x).

Отсюда f(x) = Pn(x) + Rn(x), или

(4. )

где Rn(x) — это остаточный член, который может быть записан в разных формах. Мы приведем так называемую форму Лагранжа, которая имеет вид:

124